1 . 意大利画家达芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么?这就是著名的“悬链线问题”，通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数的图象，定义双曲正弦函数，类比三角函数的性质可得双曲正弦函数和双曲余弦函数有如下性质①平方关系：，②倍元关系：．
(1)求曲线在处的切线斜率；
(2)（i）证明：当时，；
（ii）证明：．

2 . 已知函数，．
(1)当时，求函数的最小值；
(2)是否存在，且依次成等比数列，使得，，依次成等差数列？请证明；
(3)当时，函数有两个零点，是否存在的关系？若存在，请证明；若不存在，请写出正确的关系．

3 . 已知函数，其中，为自然对数的底数．
(1)函数，求的最小值；
(2)若为函数的两个零点，证明：．

4 . 已知函数，.
(1)求的单调区间；
(2)设是函数的两个极值点，证明：.

5 . 已知函数有两个零点．
(1)求实数a的取值范围；
(2)求证：；
(3)求证：．

6 . 已知函数．
(1)若，求的单调区间；
(2)若，函数有两个零点，且，求证：．

7 . 已知定义在上的函数和.
(1)求证：；
(2)设在存在极值点，求实数的取值范围.

8 . 已知函数的最小值为.
(1)求实数的值；
(2)若有两个不同的实数根，求证：.

9 . 已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若a＞0，记为的零点，．
①证明：；
②探究与的大小关系．

10 . 已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若恰好有两个零点，，且恒成立，证明：.