1 . 已知函数，．
（1）求函数的极大值；
（2）求证：；
（3）对于函数与定义域上的任意实数，若存在常数，，使得和都成立，则称直线为函数与的“分界线”．设函数，试探究函数与是否存在“分界线”？若存在，请加以证明，并求出，的值；若不存在，请说明理由．

2 . 已知函数，且函数在点处的切线为轴．
（1）当时，证明：；
（2）已知，，求证：．

3 . 已知函数．
（1）证明：；
（2）设，在上的极值点从小到大排列为，求证：时，．

4 . 已知函数.
(1)若在上单调递减，求实数的取值范围；
(2)若，求证：.

5 . 已知是函数的导函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)设为函数的两个零点且，证明：．

6 . 已知函数有两个零点．
(1)求实数的取值范围；
(2)求证：；
(3)求证：．

7 . 已知是函数的导函数．
(1)讨论方程的实数解个数；
(2)设为函数的两个零点且，证明：．

8 . 已知函数.
(1)当时，求的单调区间
(2)讨论的单调性；
(3)当时，证明.

9 . 已知函数，其中．
(1)当时，求证：在上单调递减；
(2)若有两个不相等的实数根．
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）求证：．

10 . 已知函数.
(1)若，求的最小值；
(2)若，且关于的方程有实数根，的最小值为，证明：.