2024·全国·模拟预测
1 . 已知函数.
(1)若曲线在处的切线方程为,求的值及的单调区间.
(2)若的极大值为,求的取值范围.
(3)当时,求证:.
(1)若曲线在处的切线方程为,求的值及的单调区间.
(2)若的极大值为,求的取值范围.
(3)当时,求证:.
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名校
2 . 设函数.
(1)若,讨论的单调性;
(2)若,证明:在区间内,存在唯一的极小值点,且.
(1)若,讨论的单调性;
(2)若,证明:在区间内,存在唯一的极小值点,且.
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解题方法
3 . 拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一,其内容为:如果函数在闭区间上的图象连续不断,在开区间内的导数为,那么在区间内存在点,使得成立.设,其中为自然对数的底数,.易知,在实数集上有唯一零点,且.(1)证明:当时,;
(2)从图形上看,函数的零点就是函数的图象与轴交点的横坐标.直接求解的零点是困难的,运用牛顿法,我们可以得到零点的近似解:先用二分法,可在中选定一个作为的初始近似值,使得,然后在点处作曲线的切线,切线与轴的交点的横坐标为,称是的一次近似值;在点处作曲线的切线,切线与轴的交点的横坐标为,称是的二次近似值;重复以上过程,得的近似值序列.
①当时,证明:;
②根据①的结论,运用数学归纳法可以证得:为递减数列,且.请以此为前提条件,证明:.
(2)从图形上看,函数的零点就是函数的图象与轴交点的横坐标.直接求解的零点是困难的,运用牛顿法,我们可以得到零点的近似解:先用二分法,可在中选定一个作为的初始近似值,使得,然后在点处作曲线的切线,切线与轴的交点的横坐标为,称是的一次近似值;在点处作曲线的切线,切线与轴的交点的横坐标为,称是的二次近似值;重复以上过程,得的近似值序列.
①当时,证明:;
②根据①的结论,运用数学归纳法可以证得:为递减数列,且.请以此为前提条件,证明:.
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解题方法
4 . 已知函数.
(1)当时,讨论函数的单调性.
(2)若有两个极值点.
①求实数的取值范围;
②求证:.
(1)当时,讨论函数的单调性.
(2)若有两个极值点.
①求实数的取值范围;
②求证:.
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5 . 已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)求在区间上的最小值;
(3)若,当时,求证:.
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)求在区间上的最小值;
(3)若,当时,求证:.
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6 . 已知函数.
(1)当时,证明:;
(2)当时,,求的最大值;
(3)若在区间存在零点,求的取值范围.
(1)当时,证明:;
(2)当时,,求的最大值;
(3)若在区间存在零点,求的取值范围.
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名校
7 . 已知函数
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)求证:函数的图象位于直线的下方;
(3)若函数在区间上无零点,求的取值范围.
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)求证:函数的图象位于直线的下方;
(3)若函数在区间上无零点,求的取值范围.
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2024·全国·模拟预测
8 . 已知函数有两个极值点,且.
(1)求的取值范围;
(2)证明:.
(1)求的取值范围;
(2)证明:.
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9 . 已知函数.
(1)求的单调区间;
(2)证明:;
(3)若函数有三个不同的零点,求的取值范围.
(1)求的单调区间;
(2)证明:;
(3)若函数有三个不同的零点,求的取值范围.
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10 . 已知函数.
(1)判断并证明的零点个数
(2)记在上的零点为,求证;
(i)是一个递减数列
(ii).
(1)判断并证明的零点个数
(2)记在上的零点为,求证;
(i)是一个递减数列
(ii).
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