1 . 意大利画家达芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么?这就是著名的“悬链线问题”，通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数的图象，定义双曲正弦函数，类比三角函数的性质可得双曲正弦函数和双曲余弦函数有如下性质①平方关系：，②倍元关系：.
(1)求曲线在处的切线斜率；
(2)若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围：
(3)（i）证明：当时，；
（ii）证明：.

2 . 已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，数列满足，
①求证：；
②求证：．

3 . 已知函数.
(1)判断的单调性;
(2)证明:.

4 . 已知函数，且．
(1)讨论的单调性；
(2)比较与的大小，并说明理由；
(3)当时，证明：．

5 . 已知函数，，
(1)若对定义域内任意非零实数，，均有，求a；
(2)记，证明：．

6 . 已知函数．
(1)证明：时，恒成立；
(2)证明：（且）．

7 . 已知函数（）．
(1)若，求的图象在处的切线方程；
(2)若对于任意的恒成立，求a的取值范围；
(3)若数列满足且（），记数列的前n项和为，求证：．

8 . 已知.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，证明：函数有且仅有两个零点，且.

10 . 英国数学家泰勒发现了如下公式：，其中，为自然对数的底数，．以上公式称为泰勒公式．设，，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题：
(1)证明：；
(2)设，证明：；
(3)设实数使得对恒成立，求的最大值．