1 . 已知函数，．
(1)若存在零点，求a的取值范围；
(2)若，为的零点，且，证明：．

2 . 设函数
(1)若函数与的图象存在公切线，求的取值范围；
(2)若方程有两个不同的实根，求证：．

3 . 已知函数．
(1)当时，讨论的单调性．
(2)若有两个零点，且，证明：．

4 . 已知函数和，若存在两个实数且，满足，求证：

5 . 刻画曲线的弯曲程度是几何研究的重要内容，曲线的曲率是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，曲线的曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大.若记，则函数在点处的曲率.
(1)求曲线在点处的曲率；
(2)已知函数，，若存在，使得的曲率为0，求证：.

6 . 已知函数．
(1)若曲线在点处的切线与直线垂直，讨论的极值；
(2)若是的两个不同的零点，求证：．

7 . 牛顿在《流数法》一书中，给出了代数方程的一种数值解法——牛顿法．具体做法如下：如图，设r是的根，首先选取作为r的初始近似值，若在点处的切线与轴相交于点，称是r的一次近似值；用替代重复上面的过程，得到，称是r的二次近似值；一直重复，可得到一列数：．在一定精确度下，用四舍五入法取值，当近似值相等时，该值即作为函数的一个零点．

(1)若，当时，求方程的二次近似值（保留到小数点后两位）；
(2)牛顿法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，直线常常取为曲线的切线或割线，求函数在点处的切线，并证明：；
(3)若，若关于的方程的两个根分别为，证明：．

8 . 已知函数为自然对数的底数.
(1)设，求在区间内的实根个数；
(2)若对任意都成立，求的取值范围；
(3)设，比较与的大小.

9 . 已知函数.
(1)当时，求在处的切线方程;
(2)当时，在上恒成立，求的取值范围;
(3)若（是自然对数的底数），求证:.

10 . 已知.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若有两个极值点，，证明：.