1 . 已知函数（a为常数）.
(1)求函数的单调区间；
(2)若存在两个不相等的正数，满足，求证：.
(3)若有两个零点，，证明：.

2 . 已知函数.
（1）若函数的图象上任意两个不同点的连线的斜率小于1，求证：.
（2）若，且函数的图象上任意一点处的切线的斜率为k，试证明当时，.

3 . 已知函数（）．
(1)若，求的图象在处的切线方程；
(2)若对于任意的恒成立，求a的取值范围；
(3)若数列满足且（），记数列的前n项和为，求证：．

4 . 已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，证明：当时，.

5 . 已知函数．
(1)若，求的单调区间；
(2)若时恒成立，求实数a的取值范围．
(3)定义函数，对于数列，若，则称为函数的“生成数列”，为函数的一个“源数列”．
①已知为函数的“源数列”，求证：对任意正整数，均有；
②已知为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”， 与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由．

6 . 已知函数．
(1)当时，证明：；
(2)设，当时，若，求实数的取值范围．

7 . 已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若恒成立，求的取值范围；
(3)证明：.

8 . 已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，．

9 . 已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若时，都有，求实数的取值范围；
(3)若有不相等的两个正实数满足，求证：.

10 . 已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当，证明：.