1 . 如图，有一块边长为3m的正方形铁皮，其中阴影部分是一个平径为2m的扇形，设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好，工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，便点在弧上．设，矩形的面积为．

   

(1)求关于的函数表达式；
(2)求的最大值及取得最大值时的值．

2 . 如图，某公园有一块扇形人工湖OAB，其中，千米，为了增加人工湖的观赏性，政府计划在人工湖上建造两个观景区，其中荷花池观景区的形状为矩形PCOD，喷泉观景区的形状为△PBC，且C在OB上，D在OA上，P在上，记.

(1)试用分别表示矩形PCOD和的面积，并给出角的取值范围；
(2)若在PD的位置架起一座观景桥，已知建造观景桥的费用为每千米8万元（包含桥的宽度费用），建造喷泉观景区的费用为每平方千米16万元，建造荷花池的总费用为6万元.求当为多少时，建造该观景区总费用最低，并求出其最低费用.

4 . 图①是高桥中学的校门，它由上部屋顶，和下部两根立柱组成，如图②，屋顶由四坡屋面构成，其中前后两坡屋面和是全等的等腰梯形，左右两坡屋面和是全等的三角形.点在平面和上的射影分别为H、M，已知，，梯形的面积是面积的4倍，设.

   

(1)求屋顶面积S关于的函数关系式；
(2)已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为（为正的常数），下部两根立柱的总造价与其单根的高度成正比，比例系数为，假设校门的总高度为3m，试问，当为何值时，校门的总造价（上部屋顶和下部两根立柱）最低?

5 . 某地为庆祝中华人民共和国成立七十周年，在一个半径为米、圆心角为60°的扇形草坪上，由数千人的表演团队手持光影屏组成红旗图案，已知红旗图案为矩形，其四个顶点中有两个顶点、在线段上，另两个顶点、分别在弧、线段上.

   

(1)若，求此红旗图案的面积；（精确到）
(2)求组成的红旗图案的最大面积.（精确到）

7 . 随着市民健康意识的提升，越来越多的人开始运动，身边的健身步道成了市民首选的运动场所．如图，某公园内有一个以O为圆心，半径为5，圆心角为的扇形人工湖OAB，OM，ON分别是由OA，OB延伸而成的两条健身步道．为进一步完善全民健身公共服务体系，主管部门准备在公园内增建三条健身步道，其中一条与弧相切于点F，且与OM，ON分别交于点C，D，另两条分别是和湖岸OA，OB垂直的FG，FH（垂足均不与O重合）．在区域内，扇形人工湖OAB以外的空地铺上草坪，则下列说法正确是的______．（填序号）

①的取值范围是；
②新增步道CD的长度可以为20；
③新增步道FG，FH长度之和可以为7；
④当点F为弧的中点时，草坪的面积为．

8 . 在数学建模课上，老师给大家带来了一则新闻：“2019年8月16日上午，高423米的东莞第一高楼民盈·国贸中心2号楼（以下简称“国留中心’）正式封顶，随着最后一方混凝土浇筑到位，标志着东堇最高楼纪录诞生，由东莞本地航母级企业民盈集团刷新了东莞天际线，比之前的东莞第一高楼台商大厦高出134米，“在同学们的叹中，老师提出了问盈：国贸中心真有这么高我们能否运用所学知识测量脸证一下？一周后，两个兴趣小组分享了他们各自的测量方案．
第一小组采用的是“两次测角法”，他们在国贸中心隔壁的会展中心广场上的A点测得国贸中心顶部的仰角为，正对国贸中心前进了s米后，到达B点，在B点测得国贸中心顶部的仰角为，然后计算出国贸中心的高度（如图1）．
第二小组采用的是“镜面反射法”，在国贸中心后面的新世纪豪园一幢11层楼（与国贸中心于同一水平面，每层约3米）楼顶天台上，进行两个操作步骤：
①将平面镜置于天台地面上，人后退至从镜中能看到国贸大厦的顶部位置，测量出人与镜子的距离为米；
②正对国贸中心，将镜子前移a米，重复①中的操作，测量出人与镜子的距离为米，然后计算出国贸中心的高度（如图2）．
实际操作中，第一小组测得米，，最终算得国贸中心的高度为；第二小组测得米，米，米，最终算得国贸中心的高度为假设测量者的身高h都为1.60米．
   
(1)请你用所学知识后两个小组完成计算（参考数据：，结果保留整数）；
(2)你认为哪个小组的方案更好？请说明理由．

10 . 在某个旅游业为主的地区，每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性的变化.现假设该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数可近似地用函数来刻画.其中，正整数表示月份且，例如时表示1月份，A和是正整数，.
统计发现，该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律：
①各年相同的月份从事旅游服务工作的人数基本相同；
②从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差约400人；
③2月份从事旅游服务工作的人数约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多.
(1)试根据已知信息，确定一个符合条件的的表达式；
(2)一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数超过400人时，该地区就进入了一年中的旅游旺季，那么一年中的哪几个月是该地区的旅游旺季？请说明理由.