1 . 我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作．类比平面向量的线性运算可以定义复向量的线性运算；两个复向量，的数量积记作，定义为；复向量的模定义为．
(1)设，，求复向量与的模；
(2)已知对任意的实向量与，都有，当且仅当与平行时取等号；
①求证：对任意实数a，b，c，d，不等式成立，并写出此不等式的取等条件；
②求证：对任意两个复向量与，不等式仍然成立；
(3)当时，称复向量与平行．设，，，若复向量与平行，求复数z的值．

2 . 已知圆．
(1)证明：圆C过定点；
(2)当时，点P为直线上的动点，过P作圆C的两条切线，切点分别为A，B，求四边形面积最小值，并写出此时直线AB的方程．

3 . 已知过点的直线与圆相交于、两点，是弦的中点，且直线与直线相交于点．

(1)当直线与直线垂直时，求证：直线经过圆心；
(2)当弦长时，求直线的方程；
(3)设，试问是否为定值，若为定值，请求出的值；若不为定值，请说明理由．

4 . 已知直线l：，M为平面内一动点，过点M作直线l的垂线，垂足为N，且（O为坐标原点）．
(1)求动点M的轨迹E的方程；
(2)已知点P(0，2)，直线与曲线E交于A，B两点，直线PA，PB与曲线E的另一交点分别是点C，D，证明：直线CD的斜率为定值．

5 . 已知三个点A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)．
(1)求证：⊥；
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标．

6 . 设平面向量，满足，设函数．
(1)若函数的最大值为1，求实数a的值；
(2)在（1）的条件下，若使得，求证：．

7 . 已知椭圆C的方程为，斜率为的直线l与C相交于M､N两点.
(1)若G为MN的中点，且，求椭圆C的方程；
(2)在（1）的条件下，若P是椭圆C的左顶点，，F是椭圆的左焦点.
①证明直线l恒过一个顶点，并求出该定点坐标；
②若点F在以MN为直径的圆内，求k的取值范围.

8 . 已知边长为的等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线：（）上.
（1）求抛物线的方程；
（2）直线交抛物线于，两点，交抛物线的准线于点，交轴于点，若.证明：直线过定点，并求出定点坐标.

9 . 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，，且，A，B，C三点满足.
（1）求证：A，B，C三点共线；
（2）若函数的最小值为，求实数m的值.

10 . 在平面直角坐标系中，为坐标原点，三点满足.
(1)求证：三点共线；
(2)已知，的最小值为，求实数的值.