1 . （1）求证：；
（2）已知在中，是的中点，证明：；
（3）已知，，且与不共线，当为何值时，向量与互相垂直？

2 . 个有次序的实数所组成的有序数组称为一个维向量，其中称为该向量的第个分量．特别地，对一个维向量，若，称为维信号向量．设，则和的内积定义为，且．
(1)直接写出4个两两垂直的4维信号向量．
(2)证明：不存在14个两两垂直的14维信号向量．
(3)已知个两两垂直的2024维信号向量满足它们的前个分量都是相同的，求证：．

3 . 已知抛物线的准线方程为，点为坐标原点，不过点的直线与抛物线交于不同的两点．
(1)如果直线过点，求证： ；
(2)如果，证明：直线必过一定点，并求出该定点．

4 . 如图，在边长为4的正三角形中，分别为上的两点，且，，相交于点P.

(1)求的值；
(2)试问：当为何值时，?
(3)求证：.

5 . 已知向量的夹角为，且.
(1)求证：；
(2)若，且，求实数的值.

6 . 如图，设是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标.设.

(1)求的模长；
(2)若，，有同学认为“”的充要条件是“”，你认为是否正确？若正确，请给出证明，若不正确，请说明理由.

7 . 已知向量，，且，与的夹角为，，.
(1)求证：；
(2)若与的夹角为，求的值.

8 . 已知向量，且与的夹角为.
(1)求证：（；
(2)若与的夹角为，求的值.

9 . 已知的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量，，.
(1)若，试判断的形状并证明；
(2)若，边长，角，求的面积.

10 . 如图，在正中，分别是上的一个三等分点，分别靠近点A，点B，且交于点P．

(1)用元表示；
(2)求证：．