名校
解题方法
1 . 对于一组向量
，（
且
），令
，如果存在
，使得
，那么称
是该向量组的“长向量”．
(1)设
，且
，若
是向量组
的“长向量”，求实数
的取值范围；
(2)若
且，向量组
是否存在“长向量
”？若存在，求出正整数
；若不存在，请说明理由；
(3)已知均是向量组的“长向量”，其中
，
．设在平面直角坐标系中有一点列
满足，
为坐标原点，
为
的位置向量的终点，且
与
关于点对称，
与（
且
）关于点对称，求
的最小值．
，（且），令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“长向量”．(1)设
，且，若是向量组的“长向量”，求实数的取值范围；(2)若
且，向量组是否存在“长向量”？若存在，求出正整数；若不存在，请说明理由；(3)已知
均是向量组的“长向量”，其中，．设在平面直角坐标系中有一点列满足，为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与（且）关于点对称，求的最小值．
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名校
2 . 已知平面上不共线的三点
，且
，
是
的中点.
(1)若
，求
的余弦值；
(2)若
是线段
上任意一点，且
，求
的最小值；
(3)若
是
内一点，且
，求
的最小值.
，且，是的中点.(1)若
，求的余弦值；(2)若
是线段上任意一点，且，求的最小值；(3)若
是内一点，且，求的最小值.
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3 . 对于向量集
，记向量
．如果存在向量
，使得
，那么称是向量集
的“长向量”．
(1)设向量
，
．若是向量集
的“长向量”，求实数x的取值范围；
(2)设向量
，，则向量集
是否存在“长向量”？给出你的结论并说明理由；
(3)已知均是向量集的“长向量”，其中
，
．设在平面直角坐标系xOy中的点集
，其中
，
，且与关于点对称，与关于点对称
，求
的最小值．
，记向量．如果存在向量，使得，那么称是向量集的“长向量”．(1)设向量
，．若是向量集的“长向量”，求实数x的取值范围；(2)设向量
，，则向量集是否存在“长向量”？给出你的结论并说明理由；(3)已知
均是向量集的“长向量”，其中，．设在平面直角坐标系xOy中的点集，其中，，且与关于点对称，与关于点对称，求的最小值．
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4 . 已知
、
是椭圆
上两动点，为原点，定点
，向量
，
在向量
方向上的投影分别为
，
，且
，动点满足
．
(1)求点的轨迹
的方程；
(2)记点
，
，求证：无论动点
在轨迹上如何运动，
恒为一个常数．
、是椭圆上两动点，为原点，定点，向量，在向量方向上的投影分别为，，且，动点满足．(1)求点
的轨迹的方程；(2)记点
，，求证：无论动点在轨迹上如何运动，恒为一个常数．
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解题方法
5 . 定义非零向量
的（相伴函数）为
，向量称为函数
的“相伴向量”（ 其中为坐标原点）
(1)求
的相伴向量；
(2)求（1）中函数
的“相伴向量”模的取值范围；
(3)已知点
，其中
为锐角
中角
的对边．若角
为
，且向量
的“相伴函数”
在
处取得最大值．求
的取值范围．
的（相伴函数）为，向量称为函数的“相伴向量”（ 其中为坐标原点）(1)求
的相伴向量；(2)求（1）中函数
的“相伴向量”模的取值范围；(3)已知点
，其中为锐角中角的对边．若角为，且向量的“相伴函数”在处取得最大值．求的取值范围．
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解题方法
6 . 元向量（
）也叫维向量，是平面向量的推广，设为正整数，数集中的个元素构成的有序组
称为上的元向量，其中
为该向量的第
个分量．元向量通常用希腊字母
等表示，如
上全体元向量构成的集合记为
．对于
，记
，定义如下运算：加法法则
，模公式
，内积
，设
的夹角为
，则
．
(1)设
，解决下面问题：
①求
；
②设
与
的夹角为，求
；
(2)对于一个元向量
，若
，称为维信号向量．规定
，已知
个两两垂直的120维信号向量
满足它们的前个分量都相同，证明：
．
元向量（）也叫维向量，是平面向量的推广，设为正整数，数集中的个元素构成的有序组称为上的元向量，其中为该向量的第个分量．元向量通常用希腊字母等表示，如上全体元向量构成的集合记为．对于，记，定义如下运算：加法法则，模公式，内积，设的夹角为，则．(1)设
，解决下面问题：①求
；②设
与的夹角为，求；(2)对于一个
元向量，若，称为维信号向量．规定，已知个两两垂直的120维信号向量满足它们的前个分量都相同，证明：．
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2024-03-26更新
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392次组卷
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3卷引用：山西省大同市第二中学校2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题
名校
7 . 如图所示，为等边三角形，
，
为的内心，点在以为圆心，
为半径的圆上运动.
的值.
(2)求
的范围.
(3)若
，当
最大时，求
的值.
为等边三角形，，为的内心，点在以为圆心，为半径的圆上运动.
的值.(2)求
的范围.(3)若
，当最大时，求的值.
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2024-03-12更新
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630次组卷
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3卷引用：重庆市南开中学校2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题
8 . 设非零向量
，
，并定义
(1)若
，求
；
(2)写出
之间的等量关系，并证明；
(3)若
，求证：集合
是有限集.
，，并定义(1)若
，求；(2)写出
之间的等量关系，并证明；(3)若
，求证：集合是有限集.
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名校
9 . 如图，已知
为平行四边形．
(1)若
，
，
，求
及
的值；
(2)记平行四边形的面积为
，设
，
，求证：
为平行四边形． (1)若
，，，求及的值；(2)记平行四边形
的面积为，设，，求证：
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2023-07-08更新
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459次组卷
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2卷引用：上海市黄浦区2022-2023学年高一下学期期末数学试题
名校
解题方法
10 . 给出定义：对于向量
，若函数
，则称向量
为函数
的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数.
(1)设向量
的伴随函数为
，若
，且
，求
的值；
(2)已知
，
，函数
的伴随向量为
，请问函数的图象上是否存在一点，使得
，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
，若函数，则称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数.(1)设向量
的伴随函数为，若，且，求的值；(2)已知
，，函数的伴随向量为，请问函数的图象上是否存在一点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
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2023-05-02更新
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373次组卷
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4卷引用：江西省智慧上进联盟2022-2023学年高一下学期期中调测试数学试题
