1 . 已知数列的前n项和为，若数列为等差数列，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．

2 . 已知数列的前n项和为，，其中．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．

4 . 已知数列的前n项和为，且．
(1)求；
(2)若，记数列的前n项和为，求证：．

5 . 已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)若，记数列的前项和为，证明：.

6 . 已知数列的通项公式为，数列的前项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，问是否存在正整数，使得成立，并说明理由．

7 . 现代排球赛为5局3胜制，每局25分，决胜局15分. 前4局比赛中，一队只有赢得至少25分，并领先对方2分时，才胜1局. 在第5局比赛中先获得15分并领先对方2分的一方获胜. 在一个回合中，赢的球队获得1分，输的球队不得分，且下一回合的发球权属于获胜方. 经过统计，甲、乙两支球队在每一个回合中输赢的情况如下：当甲队拥有发球权时，甲队获胜的概率为；当乙队拥有发球权时，甲队获胜的概率为.
(1)假设在第1局比赛开始之初，甲队拥有发球权，求甲队在前3个回合中恰好获得2分的概率；
(2)当两支球队比拼到第5局时，两支球队至少要进行15个回合，设甲队在第个回合拥有发球权的概率为. 假设在第5局由乙队先开球，求在第15个回合中甲队开球的概率，并判断在此回合中甲、乙两队开球的概率的大小.

8 . 新宁崀山景区是世界自然遗产､国家5A级景区，其中“八角寨”景区和“天下第一巷”景区是新宁崀山景区的两张名片.为了合理配置旅游资源，现对已游览“八角寨”景区且尚未游览“天下第一巷”景区的游客进行随机调查，若不游览“天下第一巷”景区记2分，若继续游览“天下第一巷”景区记4分，假设每位游客选择游览“天下第一巷”景区的概率均为，游客之间选择意愿相互独立.
(1)从游客中随机抽取2人，记总得分为随机变量，求的数学期望；
(2)（i）记表示“从游客中随机抽取人，总分恰为分”的概率，求的前4项和；
（ii）在对游客进行随机问卷调查中，记表示“已调查过的累计得分恰为分”的概率，探求与的关系，并求数列的通项公式.

9 . 已知数列满足，.证明：
(1)；
(2)

10 . 设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．