1 . 已知数列的前项和为，，．
(1)记，证明：是等差数列，并求的通项公式；
(2)记数列的前项和为，求．

2 . 已知数列的各项均为非零实数，其前项和为，且.
(1)若，求的值；
(2)若，，求证：数列是等差数列，并求其前项和.

3 . 已知正项数列与，且为等比数列，,,        
从条件①的前3项和；②；③.任选一个补充在上面问题中，并解答下列问题：
(1)求证：数列为等差数列；
(2)求数列的前项和.
（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）.

4 . 已知数列为等差数列，是公比为的等比数列，且．
(1)证明：；
(2)若，求数列的前项和；
(3)求集合中的元素个数．

5 . 已知首项不为0的等差数列，公差（为给定常数），为数列前项和，且为所有可能取值由小到大组成的数列.
(1)求；
(2)设为数列的前项和，证明：.

6 . 已知有限数列，从数列中选取第项、第项、、第项（），顺次排列构成数列，其中，，则称新数列为的长度为m的子列．规定：数列的任意一项都是的长度为1的子列，若数列的每一子列的所有项的和都不相同，则称数列为完全数列．设数列满足，．
(1)判断下面数列的两个子列是否为完全数列，并说明由；
数列①：3，5，7，9，11；数列②：2，4，8，16．
(2)数列的子列长度为m，且为完全数列，证明：m的最大值为6；
(3)数列的子列长度，且为完全数列，求的最大值．

7 . 在数列中，， ，且，，成等比数列．
(1)证明数列是等差数列，并求的通项公式；
(2)设数列满足，其前n项和为，证明：．

8 . 已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：.

9 . 设为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
(1)求，；
(2)求证：数列为等差数列；
(3)求数列的通项公式．

10 . 已知数列的前n项和为，，当时，．
(1)证明：是等差数列，并求通项公式；
(2)设数列的前n项和为，若恒成立，求的取值范围．