1 . 对于数列
，定义：如果函数
使得数列的前
项和
小于
，则称数列是“控制数列”.
(1)设
，证明：存在
，使得等差数列是“
控制数列”；
(2)设
，判断数列
是否为“
控制数列”，并说明理由；
(3)仿照上述定义，我们还可以定义：如果存在实数
使得数列
的前项积
小于，则称数列是“特控数列”.设
，其中
，证明：数列是“
特控数列”.
，定义：如果函数使得数列的前项和小于，则称数列是“控制数列”.(1)设
，证明：存在，使得等差数列是“控制数列”；(2)设
，判断数列是否为“控制数列”，并说明理由；(3)仿照上述定义，我们还可以定义：如果存在实数
使得数列的前项积小于，则称数列是“特控数列”.设，其中，证明：数列是“特控数列”.
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2024-09-06更新
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260次组卷
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2卷引用：辽宁省沈阳市郊联体2024-2025学年高三上学期开学联考数学试题
名校
解题方法
2 . 设A，B为椭圆C：
的短轴端点，P为椭圆上异于A，B的任意一点，D在直线
上．
(1)求直线
，
的斜率的乘积；
(2)证明：
；
(3)过右焦点F作x轴的垂线
，E为上异于F的任意一点，直线
交C于M，N两点，记直线
，
，
的斜率分别为
，
，
，是否存在，，的某个排列，使得这三个数成等差数列？若存在，加以证明；若不存在，请说明理由．
的短轴端点，P为椭圆上异于A，B的任意一点，D在直线上．(1)求直线
，的斜率的乘积；(2)证明：
；(3)过右焦点F作x轴的垂线
，E为上异于F的任意一点，直线交C于M，N两点，记直线，，的斜率分别为，，，是否存在，，的某个排列，使得这三个数成等差数列？若存在，加以证明；若不存在，请说明理由．
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2024-06-18更新
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813次组卷
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4卷引用：辽宁省教研教改联合体2025届高三第一次调研考试数学试题
辽宁省教研教改联合体2025届高三第一次调研考试数学试题福建省泉州市2024届高中毕业班5月适应性练习数学试卷黑龙江省齐齐哈尔市衡齐高级中学2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题（已下线）压轴题08 圆锥曲线综合的5大常考类型-【常考压轴题】（人教B版2019选择性必修第一册）
3 . 若数列
满足：存在等差数列，使得集合
元素的个数为不大于
，则称数列具有
性质.
(1)已知数列满足
，
.求证：数列
是等差数列，且数列有
性质；
(2)若数列有
性质，数列有
性质，证明：数列
有
性质；
(3)记
为数列
的前n项和，若数列
具有性质，是否存在
，使得数列具有
性质？说明理由.
满足：存在等差数列，使得集合元素的个数为不大于，则称数列具有性质.(1)已知数列
满足，.求证：数列是等差数列，且数列有性质；(2)若数列
有性质，数列有性质，证明：数列有性质；(3)记
为数列的前n项和，若数列具有性质，是否存在，使得数列具有性质？说明理由.
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2024-04-10更新
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593次组卷
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4卷引用：辽宁省沈阳市第一二〇中学2023-2024学年高三第十次质量监测（最后一卷）数学试题
4 . 已知
为非零常数，
，若对
，则称数列为
数列．
(1)证明：数列是递增数列，但不是等比数列；
(2)设
，若为数列，证明：
；
(3)若为数列，证明：
，使得
．
为非零常数，，若对，则称数列为数列．(1)证明：
数列是递增数列，但不是等比数列；(2)设
，若为数列，证明：；(3)若
为数列，证明：，使得．
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2024-04-06更新
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1366次组卷
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4卷引用：辽宁省丹东市东港市第二中学2024届高三下学期高考热身考试数学试卷
辽宁省丹东市东港市第二中学2024届高三下学期高考热身考试数学试卷湖南师范大学附属中学2023-2024学年高三下学期第一次模拟数学试卷（已下线）第八套 艺体生新高考全真模拟 （一模重组卷）河南省信阳市新县高级中学2024届高三下学期适应性考试（十六）数学试题
5 . 若有穷数列
满足：
，则称此数列具有性质
.
(1)若数列
具有性质，求
的值；
(2)设数列A具有性质
，且
为奇数，当
时，存在正整数
，使得
，求证：数列A为等差数列；
(3)把具有性质，且满足
（
为常数）的数列A构成的集合记作
.求出所有的，使得对任意给定的
，当数列
时，数列A中一定有相同的两项，即存在
.
满足：，则称此数列具有性质.(1)若数列
具有性质，求的值；(2)设数列A具有性质
，且为奇数，当时，存在正整数，使得，求证：数列A为等差数列；(3)把具有性质
，且满足（为常数）的数列A构成的集合记作.求出所有的，使得对任意给定的，当数列时，数列A中一定有相同的两项，即存在.
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2024-01-19更新
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1723次组卷
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3卷引用：辽宁省名校联盟2024年高考模拟卷（信息卷）数学（五）
