1 . 约数，又称因数.它的定义如下：若整数除以整数得到的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数．设正整数共有个正约数，即为，，，，．
(1)当时，若正整数的个正约数构成等比数列，请写出一个的值；
(2)当时，若，，，构成等比数列，求正整数的所有可能值；
(3)记，求证：．

2 . 已知数列的前n项和为，且，（）．
(1)证明是等比数列，并求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．

3 . 如果数列，其中，对任意正整数都有，则称数列为数列的“接近数列”．已知数列为数列的“接近数列”．
(1)若，求的值；
(2)若数列是等差数列，且公差为，求证：数列是等差数列；
(3)若数列满足，且，记数列的前项和分别为，试判断是否存在正整数，使得？若存在，请求出正整数的最小值；若不存在，请说明理由．（参考数据：）

4 . 设数列的前项和分别为，且．
(1)求和的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，
证明：①；
②．

5 . 在数列中，若存在常数，使得恒成立，则称数列为“数列”．
(1)若，试判断数列是否为“数列”，请说明理由；
(2)若数列为“数列”，且，数列为等比数列，且，求数列的通项公式；
(3)若正项数列为“数列”，且，，证明：．

7 . 在数列中，，且.
(1)证明：，都是等比数列；
(2)求的通项公式；
(3)若，求数列的前n项和，并比较与的大小；

8 . 已知数列，数列的前n项和为，令，，求证：数列的前n项和满足

10 . 第22届世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔尔举办．在决赛中，阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军．

(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数X的分布列和期望；
(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲､乙､丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲脚下的概率为p_n，易知．

①试证明：为等比数列；

②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为q_n，比较p₁₀与q₁₀的大小．