解题方法
1 . 已知函数
及其导函数
的定义域均为
.设
，曲线在点
处的切线交
轴于点
.当
时，设曲线在点
处的切线交轴于点
.依此类推，称得到的数列
为函数关于
的“
数列”.
(1)若
，是函数关于
的“数列”，求
的值；
(2)若
，是函数关于
的“数列”，记
，证明：
是等比数列，并求出其公比；
(3)若
，则对任意给定的非零实数
，是否存在
，使得函数关于的“数列”为周期数列？若存在，求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由.
及其导函数的定义域均为.设，曲线在点处的切线交轴于点.当时，设曲线在点处的切线交轴于点.依此类推，称得到的数列为函数关于的“数列”.(1)若
，是函数关于的“数列”，求的值；(2)若
，是函数关于的“数列”，记，证明：是等比数列，并求出其公比；(3)若
，则对任意给定的非零实数，是否存在，使得函数关于的“数列”为周期数列？若存在，求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由.
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23-24高二上·上海·期末
名校
2 . 如果无穷项的数列
满足“对任意正整数
，都存在正整数k，使得
”，则称数列具有“性质P”．
(1)若数列是等差数列，首项
，公差
，判断数列是否具有“性质P”，并说明理由；
(2)若等差数列具有“性质P”，
为首项，
为公差．求证：
且
；
(3)若等比数列具有“性质P”，公比为正整数，且
这四个数中恰有两个出现在中，问这两个数所有可能的情况，并求出相应数列首项的最小值，说明理由．
满足“对任意正整数，都存在正整数k，使得”，则称数列具有“性质P”．(1)若数列
是等差数列，首项，公差，判断数列是否具有“性质P”，并说明理由；(2)若等差数列
具有“性质P”，为首项，为公差．求证：且；(3)若等比数列
具有“性质P”，公比为正整数，且这四个数中恰有两个出现在中，问这两个数所有可能的情况，并求出相应数列首项的最小值，说明理由．
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2024-01-14更新
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350次组卷
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4卷引用：期末真题必刷压轴60题（22个考点专练）-【满分全攻略】2023-2024学年高二数学同步讲义全优学案（沪教版2020必修第三册）
（已下线）期末真题必刷压轴60题（22个考点专练）-【满分全攻略】2023-2024学年高二数学同步讲义全优学案（沪教版2020必修第三册）（已下线）第4章 数列 单元综合检测（难点）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第一册）2024届高三新改革适应性模拟测试数学试卷六（九省联考题型）黑龙江省牡丹江市第一高级中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题
3 . 设数列的前
项和为
．若对任意的正整数，总存在正整数
，使得
，则称是“
数列”．
(1)若数列
，
，判断和
是否是“数列”；
(2)设是等差数列，其首项
，公差
．若是“数列”，求的值；
(3)证明：对任意的等差数列，总存在两个“数列”和
，使得
成立．
的前项和为．若对任意的正整数，总存在正整数，使得，则称是“数列”．(1)若数列
，，判断和是否是“数列”；(2)设
是等差数列，其首项，公差．若是“数列”，求的值；(3)证明：对任意的等差数列
，总存在两个“数列”和，使得成立．
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2023-12-25更新
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707次组卷
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4卷引用：上海市松江二中2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题
4 . 若存在常数
，使得数列满足
（，
），则称数列为“
数列”.
(1)判断数列：1，2，3，8，49是否为“
数列”，并说明理由；
(2)若数列是首项为
的“数列”，数列是等比数列，且与满足
，求的值和数列的通项公式；
(3)若数列是“数列”，为数列的前项和，
，
，试比较
与
的大小，并证明
.
，使得数列满足（，），则称数列为“数列”.(1)判断数列：1，2，3，8，49是否为“
数列”，并说明理由；(2)若数列
是首项为的“数列”，数列是等比数列，且与满足，求的值和数列的通项公式；(3)若数列
是“数列”，为数列的前项和，，，试比较与的大小，并证明.
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2023-12-14更新
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1237次组卷
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10卷引用：上海市普陀区2024届高考一模数学试题
上海市普陀区2024届高考一模数学试题（已下线）专题05 数列（四大类型题）15区新题速递（已下线）专题09 导数（三大类型题）15区新题速递2024届高三新改革数学模拟预测训练二（九省联考题型）（已下线）2024年高考数学全真模拟卷05（新题型地区专用）（已下线）黄金卷05（已下线）新高考预测卷（2024新试卷结构）（已下线）微考点4-1 新高考新试卷结构压轴题新定义数列试题分类汇编湖南省长沙市四县区2024届高三下学期3月调研考试数学试卷（已下线）湖南省长沙市四县区2024届高三下学期3月调研考试数学试题变式题16-19
名校
解题方法
5 . 已知数列满足
，且
，若使不等式
成立的
有且只有三项，则
的取值范围为（ ）
满足，且，若使不等式成立的有且只有三项，则的取值范围为（ ）A． | B． |
C． | D． |
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2023-11-27更新
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660次组卷
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2卷引用：上海市行知中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷
名校
解题方法
6 . 下列命题正确的有（ ）个
（1）若数列为等比数列，为其前n项和，则
，
，
也成等比数列；
（2）数列的通项公式为
，则对任意的
，存在
，使得
；
（3）设
为不超过实数x的最大整数，例如：
，
，
.设a为正整数，数列满足
，
，记
，则M为有限集．
（1）若数列
为等比数列，为其前n项和，则，，也成等比数列；（2）数列
的通项公式为，则对任意的，存在，使得；（3）设
为不超过实数x的最大整数，例如：，，.设a为正整数，数列满足，，记，则M为有限集．| A．0 | B．1 | C．2 | D．3 |
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名校
解题方法
7 . 已知数列中，前项和为，若对任意的
，均有
（
是常数，且
）成立，则称数列为“
数列”.
(1)若数列为“
数列”，求数列的前项和；
(2)若数列为“
数列”，求证：
；
(3)若数列为“数列”，且
为整数，试问：是否存在数列，使得
对一切
，恒成立？如果存在，求出这样数列的的所有可能值，如果不存在，请说明理由.
中，前项和为，若对任意的，均有（是常数，且）成立，则称数列为“数列”.(1)若数列
为“数列”，求数列的前项和；(2)若数列
为“数列”，求证：；(3)若数列
为“数列”，且为整数，试问：是否存在数列，使得对一切，恒成立？如果存在，求出这样数列的的所有可能值，如果不存在，请说明理由.
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名校
解题方法
8 . 我们把一系列向量
，，按次序排成一列，称之为向量列，记作
．已知向量列满足：
，
（，）
(1)求数列
的通项公式：
(2)设
，问数列中是否存在最小项？若存在，求出最小项；若不存在，请说明理由．
(3)设
（）表示向量
与间的夹角，
为
与轴正方向的夹角，若
，若存在正整数，使得不等式
成立，求实数的取值范围．
，，按次序排成一列，称之为向量列，记作．已知向量列满足：，（，）(1)求数列
的通项公式：(2)设
，问数列中是否存在最小项？若存在，求出最小项；若不存在，请说明理由．(3)设
（）表示向量与间的夹角，为与轴正方向的夹角，若，若存在正整数，使得不等式成立，求实数的取值范围．
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名校
9 . 记实数、
中较小者为
，例如
，
，对于无穷数列，记
.若对任意
均有
，则称数列为“趋向递增数列”.
(1)已知数列、的通项公式分别为
，
，判断数列、是否为“趋向递增数列”？并说明理由；
(2)已知首项为
，公比为
的等比数列是“趋向递增数列”，求公比的取值范围；
(3)若数列
满足
、
为正实数，且
，求证：数列为“趋向递增数列”的必要非充分条件是中没有
.
、中较小者为，例如，，对于无穷数列，记.若对任意均有，则称数列为“趋向递增数列”.(1)已知数列
、的通项公式分别为，，判断数列、是否为“趋向递增数列”？并说明理由；(2)已知首项为
，公比为的等比数列是“趋向递增数列”，求公比的取值范围；(3)若数列
满足、为正实数，且，求证：数列为“趋向递增数列”的必要非充分条件是中没有.
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2022-11-06更新
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1434次组卷
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8卷引用：上海市徐汇区2022届高三下学期二模数学试题
上海市徐汇区2022届高三下学期二模数学试题上海市复旦大学附属中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题（已下线）核心考点06数列-【满分全攻略】2022-2023学年高二数学下学期核心考点+重难点讲练与测试（沪教版2020选修一+选修二）（已下线）第10讲 数学归纳法与数列综合应用 - 1（已下线）专题06数列必考题型分类训练-3（已下线）专题1 数学归纳法及其变种 微点3 数学归纳法综合训练（已下线）模块九 数列-2（已下线）专题8 等比数列的单调性 微点1 判断等比数列单调性的方法
名校
解题方法
10 . 已知函数
，数列各项均为正数，且数列、满足：
，
，
.
(1)设
，
，若是无穷等比数列，求数列的通项公式；
(2)若对于给定的满足
，问：是否存在递减数列，使得是无穷等比数列？若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由；
(3)当
时，为公差不为0的等差数列且其前
的和为0；若对任意满足条件
的数列，其前项的和
均不超过
，求正整数的最大值.
，数列各项均为正数，且数列、满足：，，.(1)设
，，若是无穷等比数列，求数列的通项公式；(2)若对于给定的
满足，问：是否存在递减数列，使得是无穷等比数列？若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由；(3)当
时，为公差不为0的等差数列且其前的和为0；若对任意满足条件的数列，其前项的和均不超过，求正整数的最大值.
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