1 . 已知数列的前项和为，且（为正整数）．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，若对任意正整数，恒成立，求实数的最大值．

2 . 设，已知函数满足.
（1）求a的值，并讨论函数的奇偶性（只需写出结论）；
（2）若函数在区间上单调递减，求b的最小值；
（3）在（2）的条件下，当b取最小值时，证明：函数有且仅有一个零点q，且存在递增的正整数列，使得成立.

3 . 如图，直线与抛物线相交于不同的两点、，且（为定值），线段的中点为，与直线平行的抛物线的切线的切点为．

（1）用、表示出点、点的坐标，并证明垂直于轴；，
（2）求的面积（只与有关，与、无关）；
（3）小张所在的兴趣小组完成上面两个小题后，小张连、，再作与、平行的切线，切点分别为、，小张马上写出了、的面积，由此小张求出了直线与抛物线围成的面积，你认为小张能做到吗？请你说出理由．

5 . 有理数都能表示成，且，m与n互质）的形式，进而有理数集且，m与n互质}．任何有理数都可以化为有限小数或无限循环小数．反之，任一有限小数也可以化为的形式，从而是有理数；那么无限循环小数是否为有理数？
思考下列问题：
（1）是有理数吗？请说明理由．
（2）是有理数吗？请说明理由．

6 . 数列中，，，数列是公比为的等比数列.
（1）求使成立的的取值范围；
（2）若，求的表达式；
（3）若，求.

7 . 在平面直角坐标系中，函数在第一象限内的图像如图所示，试做如下操作，把轴上的区间等分成个小区间，在每一个小区间上作一个小矩形，使矩形的右端点落在函数的图像上.若用，表示第个矩形的面积，表示这个矩形的面积总和.

（Ⅰ）求的表达式；
（Ⅱ）请用数学归纳法证明等式：；
（Ⅲ）求的值，并说明的几何意义.

8 . 已知正项等比数列的前项和为，，，数列满足，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．