1 . 设数列和的项数均为，则将数列和的距离定义为．
（1）给出数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离；
（2）设为满足递推关系的所有数列的集合，和为中的两个元素，且项数均为，若，，和的距离小于4032，求的最大值；
（3）记是所有7项数列的集合，．且T中任何两个元素的距离大于或等于3．证明：T中的元素个数小于或等于16．

2 . 已知数列与满足(为非零常数)，.
（1）若是等差数列，求证：数列也是等差数列；
（2）若，求数列的前2021项和；
（3）设，，，若对中的任意两项，，都成立，求实数的取值范围.

3 . 在数列中，
（1）求出并猜想的通项公式；
（2）用数学归纳方证明你的猜想.

4 . 已知数列的首项其中，， 令集合.
（1）若，写出集合中的所有的元素；
（2）若，且数列中恰好存在连续的7项构成等比数列，求的所有可能取值构成的集合；
（3）求证：.

5 . 已知有穷数列、（），函数.

（1）如果是常数列，，，，在直角坐标系中在画出函数的图象，据此写出该函数的单调区间和最小值，无需证明；
（2）当，（）时，判断函数在区间上的单调性，并说明理由；
（3）当，，时，求该函数的最小值.

6 . 定义：对于一个项数为的数列，若存在且，使得数列的前k项和与剩下项的和相等（若仅为1项，则和为该项本身），我们称该数列是“等和数列”.例如：因为，所以数列3，2，1是“等和数列”.请解答以下问题：
（1）判断数列2，-4，6，-8是否是“等和数列”，请说明理由；
（2）已知等差数列共有项（，且为奇数），，的前项和满足.判断是不是“等和数列”，并证明你的结论.
（3）是公比为q项数为的等比数列，其中.判断是不是“等和数列”，并证明你的结论.

7 . 已知数列的前项和为，且满足：.
（1）求，，的值；
（2）求证：数列是等比数列，并求通项公式；
（3）令，如果对任意，都有，求实数的取值范围.

8 . 已知首项为的数列满足（为常数）.
（1）若对任意的，有对任意的都成立，求的值；
（2）当时，若，数列是递增数列还是递减数列？请说明理由；
（3）当确定后，数列由其首项确定.当时，通过对数列的探究，写出“是有穷数列”的一个真命题（不必证明）.

9 . 在无穷数列中，，、是给定的非零整数.
（1）若，，求；
（2）证明：数列中必存在的项；
（3）证明：数列中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数列.

10 . 无穷数列满足：，且对任意正整数，为前项，，…，中等于的项的个数.
（1）直接写出，，，；
（2）求证：该数列中存在无穷项的值为1；
（3）已知，求.