1 . 已知数列中，，且．
(1)试求的值，使得数列是一个常数列．
(2)试求的取值范围，使得对于任意的都成立．
(3)若，设，数列的前项和为，试证明：．

2 . 已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，，其中第一项是2⁰，接下来的两项是2⁰，2¹，再接下来的三项是2⁰，2¹，2²，依此类推. 设该数列的前项和为,
规定：若,使得（），则称为该数列的“佳幂数”.
(1)将该数列的“佳幂数”从小到大排列，直接写出前3个“佳幂数”；
(2)试判断50是否为“佳幂数”，并说明理由；
(3)（i）求满足>70的最小的“佳幂数”;
（ii）证明：该数列的“佳幂数”有无数个.

3 . 已知有穷数列，，，，，若数列中各项都是集合的元素，则称该数列为数列．
对于数列，定义如下操作过程从中任取两项，，将的值添在的最后，然后删除，，这样得到一个项的新数列，记作（约定：一个数也视作数列）．若还是数列，可继续实施操作过程．得到的新数列记作，，如此经过次操作后得到的新数列记作．
(1)设，，，，请写出的所有可能的结果．
(2)求证：对数列实施操作过程后得到的数列仍是数列．
(3)设，，，，，，，，，，，求的所有可能的结果，并说明理由．

4 . 在数列中，若是整数，且（，且）.
(1)若，，写出的值；
(2)若在数列的前2018项中，奇数的个数为，求得最大值；
(3)若数列中，是奇数，，证明：对任意，不是4的倍数.

5 . 用部分自然数构造如图的数表：用表示第行第个数（），使得

每行中的其他各数分别等于其“肩膀”上的两个数之和,.设第（）行的第二个数为.
(1)写出第7行的第三个数；
(2)写出与的关系并求；
(3)设 证明：

6 . 某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图中（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺锈最简单的四个图案，这些图案都是由小正方向构成，小正方形数越多刺锈越漂亮，向按同样的规律刺锈（小正方形的摆放规律相同），设第个图形包含个小正方形

(1)求的值
(2)求出的表达式
(3)求证：当时，

7 . 正项数列满足，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）证明：对任意的，；
（Ⅲ）记数列的前项和为，证明：对任意的，．

8 . 已知数列满足：.
(Ⅰ)求证：；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）若求正整数的最小值.

9 . 设数列的前项和为，且，其中且.
(1)证明：是等比数列，并求其通项公式；
(2)若，求.

10 . 已知数列，，，，设其前n项和为S_n．
（1）求出S₁，S₂，S₃，S₄；
（2）猜想前n项和S_n并证明．