1 . 设正项数列的前项和为，首项为1，已知对任意整数，当时，（为正常数）恒成立．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)证明：数列是递增数列；
(3)是否存在正常数，使得为等差数列？若存在，求出常数的值；若不存在，说明理由．

2 . 数列的前项和为，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的最小值及相应的n的值.

3 . 已知轴上的点满足.射线上的点满足.
(1)证明：是等比数列；
(2)用表示点和点的坐标；
(3)求四边形的面积的取值范围.

4 . 1.设数列中前两项、给定，若对于每个正整数，均存在正整数使得，则称数列为“数列”.
(1)若数列为、的等比数列，当时，试问与是否相等，并说明数列是否为“数列”﹔
(2)讨论首项为、公差为的等差数列是否为“数列”，并说明理由；
(3)已知数列为“数列”，且，，记，其中正整数，对于每个正整数，当正整数分别取1、2、…、时，的最大值记为，最小值记为，设，当正整数满足时，比较与的大小，并求出的最大值.

5 . 从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业.根据规划，2021年投入资金1000万元，以后每年投入比上年减少.预测显示，2021年当地旅游业收入为300万元，以后每年旅游业收入比上年增加20万元.根据预测，解答以下问题：
(1)从2021年至2030年，该地十年的旅游业收入共计多少万元？
(2)从哪一年起该地的旅游业总收入将首次超过总投入？

6 . 已知数列是等比数列，且公比，．
（1）求的通项公式；
（2）设数列满足，且前n项和为，求的表达式；
（3）设由（2）中及构成函数，，求的最小值与最大值．

8 . 已知有穷数列的各项均不相等，将的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列，称为的“序数列”.例如：数列满足，则其“序数列”为1，3，2.
（1）若数列的通项公式为，写出的“序数列”；
（2）若项数不少于5项的有穷数列，的通项公式分别为，，且的“序数列”与的“序数列”相同，求实数t的取值范围；
（3）若有穷数列满足，，且的“序数列”单调递减，的“序数列”单调递增，求数列的通项公式.

9 . 已知数列各项均为正数，为前n项的和，且，，成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，为数列的前n项和，求；
（3）设为数列的前n项积，是否存在实数a，使得不等式对一切都成立？若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由.

10 . 对于数列，若存在，使得对任意都成立，则称数列为“-折叠数列”.
（1）若，判断数列是否是“-折叠数列”，如果是，指出的值，如果不是，请说明理由；
（2）若，求所有的实数，使得数列是3-折叠数列；
（3）给定常数，是否存在数列，使得对所有，都是-折叠数列，且的各项中恰有个不同的值，请说明理由.