1 . 给定正整数，设数列是的一个排列，对，表示以为首项的递增子列的最大长度，表示以为首项的递减子列的最大长度.
(1)若，，，，，求和；
(2)求证：，；
(3)求的最小值.

2 . 已知等差数列和等比数列，，，，，则满足的数值m（     ）

A．有且仅有1个值

B．有且仅有2个值

C．有且仅有3个值

D．有无数多个值

3 . 已知数列为有穷正整数数列.若数列A满足如下两个性质，则称数列A为m的k减数列：
①；
②对于，使得的正整数对有k个.
(1)写出所有4的1减数列；
(2)若存在m的6减数列，证明：；
(3)若存在2024的k减数列，求k的最大值.

4 . 对于项数为的数列，若数列满足，，其中，表示数集中最大的数，则称数列是的数列.
(1)若各项均为正整数的数列的数列是，写出所有的数列；
(2)证明：若数列中存在使得，则存在使得成立；
(3)数列是的数列，数列是的数列，定义其中．求证：为单调递增数列的充要条件是为单调递增数列．

5 . 已知无穷项数列满足：为有理数，给出下列四个结论：
①若，则数列单调递增；
②数列可能为等比数列；
③若存在，则对于任意，总有．
④若存在，对于任意，总有，则．
其中全部正确结论的序号为_______．

6 . 设是正整数，且，数列满足：，，，数列的前项和为.给出下列四个结论：①数列为单调递增数列，且各项均为正数；②数列为单调递增数列，且各项均为正数；③对任意正整数，，；④对任意正整数，.其中，所有正确结论的序号是__________.

7 . 已知无穷数列满足，其中表示x，y中最大的数，表示x，y中最小的数.
(1)当，时，写出的所有可能值；
(2)若数列中的项存在最大值，证明：0为数列中的项；
(3)若，是否存在正实数M，使得对任意的正整数n，都有？如果存在，写出一个满足条件的M；如果不存在，说明理由.