1 . 已知正项数列满足；且对任意的正整数都有成立，其中是数列的前项和，为常数.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，证明：数列的前项和.

2 . 设数列的各项都为正数，且．
(1)证明数列为等差数列；
(2)设，求数列的前项和．

3 . 设数列的前n项和，满足，且
(1)证明：数列为等差数列
(2)求的通项公式

4 . 已知数列中，，满足，设为数列的前项和．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)若不等式对任意正整数恒成立，求实数的取值范围．

5 . 已知数列满足，当时，.
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列，证明：.

6 . 已知函数．
(1)求函数的极值；
(2)证明：．

7 . 已知数列的前n项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，且数列的前n项和为，求证：当时，．

8 . 已知各项均为正数的数列的首项，其前项和为，从①；②，；③中任选一个条件作为已知，并解答下列问题.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，设数列的前项和，求证：.
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）.

9 . 已知数列的首项且满足．
(1)证明：是等比数列；
(2)数列满足，，记，求数列的前n项和．

10 . 已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)若，数列的前项和为，证明：.