1 . 物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用非常广泛．其定义是：对于函数，若满足，则称数列为牛顿数列．已知，如图，在横坐标为的点处作的切线，切线与x轴交点的横坐标为，用代替重复上述过程得到，一直下去，得到数列．

   

(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的前n项和为，且对任意的，满足，求整数的最小值．（参考数据：，，，）

2 . 已知等差数列的前项和为，公差，且，，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设是首项为1，公比为3的等比数列，
①求数列的前项和；
②若不等式对一切恒成立，求实数的最大值．

3 . 已知数列的前项和为，求的最大值，以及取最大值时的值．

4 . 已知函数的图象按向量平移后得到的图象，数列满足（且）.
(1)若，且，证明：是等差数列；
(2)若，试判断中是否存在最大项与最小项，若存在，求出最大项与最小项；若不存在，请说明理由.

5 . 数列满足．
(1)求；
(2)求数列的前n项和；
(3)数列的前n项和为，且，证明：对任意的．

6 . 已知数列的前n项和为，，且.
（1）求数列的通项；
（2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.

7 . 已知数列满足：．
（1）求，的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）令，如果对任意，都有，求实数的取值范围．

8 . 在公比大于0的等比数列中，已知，且，，成等差数列.
（1）求的通项公式；
（2）已知，试问当为何值时，取得最大值，并求的最大值.

9 . 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的存在，求的值；若不存在，说明理由．设等差数列的前项和为，是等比数列，______，，是否存在，使得且？

10 . 为数列的前项和，已知，．
（1）求；
（2）记数列的前项和为，若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围．