1 . 记，，.
(1)求；
(2)求证：，，使得是一个完全平方数.

2 . “太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦……”，“大衍数列”来源于《乾坤谱》，用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.“大衍数列”的前几项分别是：0，2，4，8，12，18，24，…，且满足其中.
(1)求（用表示）；
(2)设数列满足：其中，是的前项的积，求证：，.

3 . 我们知道，如果，那么，反之，如果，那么.后者常称为求数列前项和的“差分法”（或裂项法）.
(1)请你用差分法证明：，其中；
(2)证明：

4 . 已知等差数列公差为，前n项和为.
(1)若，，求的通项公式；
(2)若，、、成等比数列，且存在正整数p、，使得与均为整数，求的值；
(3)若，证明对任意的等差数列，不等式恒成立.

5 . 给定整数，由元实数集合定义其相伴数集，如果，则称集合S为一个元规范数集，并定义S的范数为其中所有元素绝对值之和.
(1)判断、哪个是规范数集，并说明理由；
(2)任取一个元规范数集S，记、分别为其中最小数与最大数，求证：；
(3)当遍历所有2023元规范数集时，求范数的最小值.
注：、分别表示数集中的最小数与最大数.

6 . 设等差数列的前项和为，已知，各项均为正数的等比数列满足，．
(1)求；
(2)设，求证：．

7 . 若数列满足（，是不等于的常数）对任意恒成立，则称是周期为，周期公差为的“类周期等差数列”．已知在数列中，，．
(1)求证：是周期为的“类周期等差数列”，并求的值；
(2)若数列满足，求的前项和．

8 . 给定正整数，集合，若存在集合A，B，C，同时满足下列条件：①，且；②集合A中的元素都为奇数，集合B中的元素都为偶数，所有能被3整除的数都在集合C中集合C中还可以包含其他数；③集合A，B，C中各元素之和分别记为，，，有，则称集合为可分集合．
（1）已知为可分集合，写出一组满足条件的集合A，B，
（2）求证：若n是3的倍数，则不是可分集合
（3）若为可分集合且n为奇数，求n的最小值．

9 . 已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列是等差数列：②数列是等差数列；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．

10 . 对于数列，定义为数列的差分数列，其中．如果对任意的，都有，则称数列为差分增数列．
（1）已知数列为差分增数列，求实数的取值范围；
（2）已知数列为差分增数列，且，．若，求非零自然数k的最大值；
（3）已知项数为2k的数列（）是差分增数列，且所有项的和等于k，证明：．