1 . 设数列的前项和为，且，数列满足，其中.
(1)证明为等差数列，求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和为；
(3)求使不等式，对任意正整数都成立的最大实数的值.

3 . 已知数列满足，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和；
（3）设，记数列的前项和为，证明：.

4 . 若数列满足“对任意正整数，，，都存在正整数，使得”，则称具有“性质”．
（1）判断各项均等于的常数列是否具有“性质”，并说明理由；
（2）若公比为2的无穷等比数列具有“性质”，求首项的值；
（3）证明首项为2的无穷等差数列具有“性质”的充要条件是公差或．

5 . 设正项数列的前项和为，首项为1，数列是公差为（且）的等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：数列是递增数列；
（3）是否存在正常数，使得为等差数列？若存在，求出的值和此时的取值范围；若不存在，说明理由.

6 . 已知数列的首项为1，记.
（1）若数列是公比为3的等比数列，求的值；
（2）若数列是公差为2的等差数列，①求证：；②求证：是关于的一次多项式.

7 . 已知数列满足，，其中是数列的前n项和.
（1）求和的值及数列的通项公式；
（2）设.
①若，求k的值；
②求证：数列（中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积.

8 . 已知数列中，，前n项和为，且.
（1）求；
（2）证明数列为等差数列，并写出其通项公式；
（3）设，试问是否存在正整数p，q（其中），使成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；若不存在，说明理由.

9 . 已知数列满足，，，.
（1）若，求，的值；
（2）证明：对任意正实数，成等差数列；
（3）若()，，求数列的通项公式.

10 . 已知数列中，（是不等于的常数），为数列的前项和，若对任意的正整数都有.
（1）证明：数列为等差数列；
（2）记，求数列的前项和；
（3）记，是否存在正整数，使得当时，恒有？若存在，证明你的结论，并给出一个具体的值；若不存在，请说明理由．