1 . 已知数列满足，，数列满足，．
(1)求证：为等差数列，并求通项公式；
(2)若，记前n项和为，对任意的正自然数n，不等式恒成立，求实数的范围．

2 . 已知数列满足，数列前项和.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求的通项公式；
(3)设，是否存在，使成立？并说明理由.

3 . 已知数列满足，．
(1)证明：数列为等差数列，并求出数列的通项公式；
(2)设数列满足，为数列的前n项和，
①求数列的前n项和；
②若在，上恒成立，求的取值范围．

4 . 已知数列的前n项和为，满足：（，n为正整数）．
(1)求证：数列为等差数列；
(2)若，数列满足，，，（，为正整数），记为的前n项和，比较与的大小．

5 . 已知数列，若对于任意正整数n，仍为数列中的项，则称数列为“回归数列”.
(1)已知 ，判断数列是否为“回归数列”，并说明理由；
(2)若数列为“回归数列”，且对于任意正整数n，均有成立，证明：数列为等差数列.

7 . 已知数列、的各项均为正数，且对任意，都有、、成等差数列，、、成等比数列，且，.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列、的通项公式；
(3)设，如果对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.

8 . 数列中，，当时，数列的前项和为，满足．
(1)求证：数列是等差数列，并求的表达式；
(2)设，数列的前项和为，不等式对所有的恒成立，求正整数的最大值．

9 . 已知数列的前n项和为，已知数列的各项均为正数，，且；
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：数列是等差数列，并求出的通项公式；
(3)若，求对所有的正整数n都有成立的实数k的取值范围？

10 . 已知数列满足，，求数列的通项公式．