1 . 已知数列的前n项和为.
(1)若，，证明：；
(2)在（1）的条件下，若，数列的前n项和为，求证

2 . 设集合由满足下列两个条件的数列构成：①；②存在实数，使为正整数）
（Ⅰ）在只有5项的有限数列、中，其中，，，，，，，，，，试判断数列、是否为集合中的元素；
（Ⅱ）设是等差数列，是其前项和，，，证明数列，并写出的取值范围；
（Ⅲ）设数列，对于满足条件的的最小值，都有求证：数列单调递增．

3 . 定义：对于一个项数为的数列，若存在且，使得数列的前项和与剩下项的和相等(若仅为1项，则和为该项本身)，我们称该数列是“等和数列”例如：因为3=2+1，所以数列3，2，1是“等和数列”.请解答以下问题：
（1）数列是“等和数列”，求实数的值；
（2）设数列通项公式为，且共有项，证明：不是等和数列；
（3）项数为的等差数列的前项和为，求证：是“等和数列”

4 . 记无穷数列的前项中最大值为，最小值为，令，则称是“极差数列”.
（1）若，求的前项和；
（2）证明：的“极差数列”仍是；
（3）求证：若数列是等差数列，则数列也是等差数列.

5 . 已知等比数列的前项和为，，且成等差数列.
(1)求；
(2)设，是数列的前项和，求；
(3)设，是的前项的积，求证：（为正整数）.

6 . 已知等比数列的前n项和为，，且，，成等差数列.
(1)求；
(2)设，是数列的前n项和，求；
(3)设，是的前n项的积，求证：，．

7 . 给定整数，由元实数集合定义其随影数集.若，则称集合为一个元理想数集，并定义的理数为其中所有元素的绝对值之和.
(1)分别判断集合是不是理想数集；（结论不要求说明理由）
(2)任取一个5元理想数集，求证：；
(3)当取遍所有2024元理想数集时，求理数的最小值.
注：由个实数组成的集合叫做元实数集合，分别表示数集中的最大数与最小数.

8 . 已知数列各项均不为0，，且（为非零常数）．
(1)求证：为等差数列；
(2)已知数列的前项和为．
①求证：；
②若数列的前10项和为550，求的值．

9 . 已知各项均为正数的数列满足，且．
(1)若，求证是等比数列；
(2)求的通项公式．

10 . 数列有项，，对任意，存在，若与前项中某一项相等，则称具有性质.
(1)若，求可能的值；
(2)若不为等差数列，求证：中存在满足性质；
(3)若中恰有三项具有性质，这三项和为，使用表示.