1 . 已知无穷数列（）的前n项和为，记，，…，中奇数的个数为．
(1)若，请写出数列的前5项；
(2)求证：“为奇数，，3，4，为偶数”是“数列是严格增数列的充分不必要条件；
(3)若，2，3，，求数列的通项公式．

2 . 已知数列中，，数列满足：．
(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)求的值；
(3)求数列中的最大项和最小项，并说明理由．

3 . 已知数列的前n项和，求数列的前n项和.

4 . 已知数列各项均为正数，为前n项的和，且，，成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，为数列的前n项和，求；
（3）设为数列的前n项积，是否存在实数a，使得不等式对一切都成立？若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由.

5 . 在数列中，，对任意，．
（1）求数列的通项公式．
（2）若数列满足：．
①求数列的通项公式；
②令，若，求正整数的值．

6 . 已知数列，的通项公式分别为，.
（1）数列的前n项和为，求；
（2）在数列中，已知，是否存在正整数m，使得对于一切的都有恒成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.

7 . 等差数列中，已知.
（1）求数列的通项公式；
（2）当数列的前项和取得最大值时，求；
（3）求数列的前项和.

8 . 已知等差数列的前项和为，且满足，.
（1）求数列的通项公式及前项和；
（2）求数列的前项和；
（3）若，如果对任意，都有，求实数的取值范围.

9 . 已知数列满足，，设
（1）求证：数列是等差数列；
（2）设，求.

10 . 统计学中将个数的和记作
（1）设，求；
（2）是否存在互不相等的非负整数，,使得成立，若存在，请写出推理的过程；若不存在请证明；
（3）设是不同的正实数，，对任意的，都有，判断是否为一个等比数列，请说明理由.