1 . 已知等比数列的前5项和为10，前10项和为50，求这个数列的前15项和．

2 . 某公司2021年投资4千万元用于新产品的研发与生产，计划从2022年起，在今后的若干年内，每年继续投资1千万元用于新产品的维护与生产，2021年新产品带来的收入为0.5千万元，并预测在相当长的年份里新产品带来的收入均在上年度收入的基础上增长25%.记2021年为第1年，为第1年至此后第年的累计利润（注：含第年，累计利润=累计收入-累计投入，单位：千万元），且当为正值时，认为新产品赢利.
(1)试求的表达式；
(2)根据预测，该新产品将从哪一年开始并持续赢利?请说明理由.

3 . 解答下列各题：（_奇表示奇数项和，_偶表示偶数项和）
（1）是等比数列，，项数为偶数．_奇＝85，_偶＝170，求；
（2）是等差数列，共项，为奇数，，_偶，，求通项公式．

4 . 已知数列为等比数列,公比为为数列的前项和.
(1)若求
(2)若调换的顺序后能构成一个等差数列,求的所有可能值；
(3)是否存在正常数使得对任意正整数不等式总成立?若存在,求出的取值范围；若不存在,请说明理由．

5 . 记数列的前n项和为，其中所有奇数项之和为，所有偶数项之和为
若是等差数列，项数n为偶数，首项，公差，且，求；
若数列的首项，满足，其中实常数，且，请写出满足上述条件常数t的两个不同的值和它们所对应的数列．

6 . 正项数列：，满足：是公差为的等差数列，是公比为2的等比数列.
（1）若，求数列的所有项的和；
（2）若，求的最大值；
（3）是否存在正整数，满足?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

7 . 已知等差数列的首项为，公差为，等比数列的首项为，公比为，其中，且．
（1）求证：，并由推导的值；
（2）若数列共有项，前项的和为，其后的项的和为，再其后的项的和为，求的比值．
（3）若数列的前项，前项、前项的和分别为，试用含字母的式子来表示（即，且不含字母）