1 . 对于数列，若存在正数k，使得对任意，，都满足，则称数列符合“条件”．
(1)试判断公差为2的等差数列是否符合“条件”？
(2)若首项为1，公比为q的正项等比数列符合“条件”．
①求q的取值范围；
②记数列的前n项和为，证明：存在正数，使得数列符合“条件”

2 . 对于数集（为给定的正整数），其中，如果对任意，都存在，使得，则称具有性质．
(1)若，且集合具有性质，求的值；
(2)若具有性质，求证：；且若成立，则；
(3)若具有性质，且为常数，求数列的通项公式．

3 . 已知是由正整数组成的无穷数列．设，其中，，这里表示这n个数中最大的数， 表示中最小的数．
(1)若为，是一个周期为的数列（即对任意，），写出，，，的值；
(2)设是正整数．证明：（）的充分必要条件为是公比为的等比数列；
(3)证明：若，（），则的项只能是或者，且有无穷多项为．

4 . 已知数列是由正整数组成的无穷数列，若存在常数，使得，对任意的成立，则称数列具有性质．
（1）分别判断下列数列是否具有性质；（直接写出结论）①；②
（2）若数列满足，求证：“数列具有性质”是“数列为常数列的充分必要条件；
（3）已知数列中，且．若数列具有性质，求数列的通项公式．

6 . 若无穷数列满足：存在，对任意的，都有（为常数），则称具有性质
（1）若无穷数列具有性质，且，求的值
（2）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，，，，判断是否具有性质，并说明理由.
（3）设无穷数列既具有性质，又具有性质，其中互质，求证：数列具有性质

7 . 等比数列的前项和为，已如,,.
(1)求和；
(2）证明：对任意，.