1 . 定义：对于一个项数为
的数列
，若存在
且
，使得数列的前
项和与剩下项的和相等(若仅为1项，则和为该项本身)，我们称该数列是“等和数列”例如：因为3=2+1，所以数列3，2，1是“等和数列”.请解答以下问题：
（1）数列
是“等和数列”，求实数
的值；
（2）设数列
通项公式为
，且共有
项，证明：不是等和数列；
（3）项数为
的等差数列的前
项和为
，求证：是“等和数列”
的数列，若存在且，使得数列的前项和与剩下项的和相等(若仅为1项，则和为该项本身)，我们称该数列是“等和数列”例如：因为3=2+1，所以数列3，2，1是“等和数列”.请解答以下问题：（1）数列
是“等和数列”，求实数的值；（2）设数列
通项公式为，且共有项，证明：不是等和数列；（3）项数为
的等差数列的前项和为，求证：是“等和数列”
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解题方法
2 . 已知数列的前n项和为
，满足：
（
，n为正整数）．
(1)求证：数列为等差数列；
(2)若
，数列满足
，
，
，（，为正整数），记
为的前n项和，比较
与
的大小．
的前n项和为，满足：（，n为正整数）．(1)求证：数列
为等差数列；(2)若
，数列满足，，，（，为正整数），记为的前n项和，比较与的大小．
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22-23高一下·上海浦东新·期末
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解题方法
3 . 定义：若对任意正整数n，数列的前n项和都为完全平方数，则称数列为“完全平方数列”；特别地，若存在正整数n，使得数列的前n项和为完全平方数，则称数列为“部分平方数列”．
(1)若
，求证：为部分平方数列；
(2)若数列的前n项和
（t是正整数），那么数列
是否为“完全平方数列”？若是，求出t的值；若不是，请说明理由；
(3)试求所有为“完全平方数列”的等差数列的通项公式．
的前n项和都为完全平方数，则称数列为“完全平方数列”；特别地，若存在正整数n，使得数列的前n项和为完全平方数，则称数列为“部分平方数列”．(1)若
，求证：为部分平方数列；(2)若数列
的前n项和（t是正整数），那么数列是否为“完全平方数列”？若是，求出t的值；若不是，请说明理由；(3)试求所有为“完全平方数列”的等差数列的通项公式．
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解题方法
4 . 已知数列满足
，
.
(1)求证：数列
是等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)写出
的具体展开式，并求其值.
满足，.(1)求证：数列
是等比数列；(2)求数列
的通项公式；(3)写出
的具体展开式，并求其值.
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2022-12-16更新
|
909次组卷
|
2卷引用：上海市上海师范大学附属中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题
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解题方法
5 . 已知数列的前项和为，满足：
.
(1)求证：数列为等差数列；
(2)若，数列满足
，记为的前项和，求证：
；
(3)在（2）的前提下，记
，数列
的前
项和为
，若不等式
对一切
恒成立，求
的取值范围.
的前项和为，满足：.(1)求证：数列
为等差数列；(2)若
，数列满足，记为的前项和，求证：；(3)在（2）的前提下，记
，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围.
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2022-11-11更新
|
1106次组卷
|
4卷引用：上海市进才中学2023届高三上学期期中数学试题
上海市进才中学2023届高三上学期期中数学试题天津市2023届高三高考前最后一卷数学试题（已下线）高二下期中真题精选（压轴40题专练）-【满分全攻略】2022-2023学年高二数学下学期核心考点+重难点讲练与测试（沪教版2020选修一+选修二）（已下线）期中真题必刷压轴50题专练-【满分全攻略】2023-2024学年高二数学同步讲义全优学案（沪教版2020必修第三册）
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解题方法
6 . 已知数列
是公差不为0的等差数列，
，数列
是等比数列，且，
，
，数列的前项和为，记点
，
．
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：点
、
、
、
、
、在同一直线
上，并求出直线的方程；
(3)若
对恒成立，求
的最小值．
是公差不为0的等差数列，，数列是等比数列，且，，，数列的前项和为，记点，．(1)求数列
的通项公式；(2)证明：点
、、、、、在同一直线上，并求出直线的方程；(3)若
对恒成立，求的最小值．
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21-22高二下·上海浦东新·期中
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7 . 在等差数列和等比数列中，
，
，是数列前n项和.
(1)求；
(2)若
，求证：“数列的所有项都在数列中”的充要条件为“b为正偶数”；
(3)是否存在正实数b，使得数列中至少有三项在数列中，但中的项不都在数列中？若存在，求出一个可能的b的值；若不存在，请说明理由.
和等比数列中，，，是数列前n项和.(1)求
；(2)若
，求证：“数列的所有项都在数列中”的充要条件为“b为正偶数”；(3)是否存在正实数b，使得数列
中至少有三项在数列中，但中的项不都在数列中？若存在，求出一个可能的b的值；若不存在，请说明理由.
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8 . 设复数数列
满足：
，且对任意正整数n，均有：
.若复数
对应复平面的点为
，O为坐标原点.
(1)求
的面积；
(2)求
；
(3)证明：对任意正整数m，均有
.
满足：，且对任意正整数n，均有：.若复数对应复平面的点为，O为坐标原点.(1)求
的面积；(2)求
；(3)证明：对任意正整数m，均有
.
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解题方法
9 . 设数列的各项均为正数，前项和为，已知
.
(1)证明数列是等差数列，并求其通项公式；
(2)若
､
､…､
都在函数
的图像上，设数列的前项和为，求
的值.
的各项均为正数，前项和为，已知.(1)证明数列
是等差数列，并求其通项公式；(2)若
､､…､都在函数的图像上，设数列的前项和为，求的值.
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10 . 已知无穷实数列
，
，若存在
，使得对任意，
恒成立，则称为有界数列；记
，若存在
，使得对任意
，
恒成立，则称为有界变差数列.
（1）已知无穷数列的通项公式为
，判断是否为有界数列，是否为有界变差数列，并说明理由；
（2）已知首项为
，公比为实数
的等比数列
为有界变差数列，求的取值范围；
（3）已知两个单调递增的无穷数列
和
都为有界数列，记
，，证明：数列
为有界变差数列．
，，若存在，使得对任意，恒成立，则称为有界数列；记，若存在，使得对任意，恒成立，则称为有界变差数列.（1）已知无穷数列
的通项公式为，判断是否为有界数列，是否为有界变差数列，并说明理由；（2）已知首项为
，公比为实数的等比数列为有界变差数列，求的取值范围；（3）已知两个单调递增的无穷数列
和都为有界数列，记，，证明：数列为有界变差数列．
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