1 . 已知位数满足下列条件：①各个数字只能从集合中选取；②若其中有数字，则在的前面不含，将这样的位数的个数记为；
（1）求、；
（2）探究与之间的关系，求出数列的通项公式；
（3）对于每个正整数，在与之间插入个得到一个新数列，设是数列的前项和，试探究能否成立，写出你探究得到的结论并给出证明；

2 . 记（其中表示不超过x的最大整数，如，），则________.

3 . 已知数列的各项均为正数，且，对于任意的，均有，.
（1）求证：是等比数列，并求出的通项公式；
（2）若数列中去掉的项后，余下的项组成数列，求；
（3）设，数列的前项和为，是否存在正整数，使得、、成等比数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

4 . 数列，定义为数列的一阶差分数列，其中．
（1）若，试判断是否是等差数列，并说明理由；
（2）若，，求数列的通项公式；
（3）对（2）中的数列，是否存在等差数列，使得对一切都成立，若存在，求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由．

5 . 已知数列的前n项和为，且，；
（1）若，求证：；
（2）若，求；
（3）若，求的值．

6 . 已知数列满足，数列是公比为3的等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）当时，证明：；
（3）设数列的前项和为，证明：.

7 . 如果方程组有实数解，则正整数的最小值是___

8 . 已知以为首项的数列满足：（）.
（1）当时，且，写出、；
（2）若数列（，）是公差为的等差数列，求的取值范围；
（3）记为的前项和，当时，给定常数（，），求的最小值.

9 . 已知数列：1，，，3，3，3，，，，，…，，即当（）时，，记（）．
（1）求的值；
（2）求当（），试用n、k的代数式表示（）；
（3）对于，定义集合是的整数倍，，且，求集合中元素的个数．

10 . 设x轴、y轴正方向上的单位向量分别是、，坐标平面上点列分别满足下列两个条件：①且；②且；
（1）写出及的坐标；
（2）求的坐标；
（3）若△的面积是，求的表达式.