1 . 如果三棱锥的底面是正三角形，顶点在底面上的射影是的中心，则这样的三棱锥称为正三棱锥，有下列结论：
①正三棱锥的所有棱长都相等；
②正三棱锥至少有一组对棱不垂直；
③当三棱锥所有棱长都相等时，该棱锥内任意一点到它的四个面的距离之和为定值；
④若正三棱锥的所有棱长均为，则该棱锥内切球的表面积等于；
⑤若正三棱锥的侧棱长为2，一个侧面的顶角为40°，过点的平面分别交侧棱，于，，则周长的最小值等于.
以上结论正确的是__________.

2 . 如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，，，（）

（1）求证：平面；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的值；
（3）现将与四棱柱形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为，写出的解析式．（直接写出答案，不必说明理由）

3 . 一个透明密闭的正方体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器中的形状可以是：①三角形；②四边形；③五边形；④六边形.其中正确的结论是（       ）

A．①③

B．②④

C．②③④

D．①②③④

4 . 如果三棱锥的底面是正三角形，顶点在底面上的射影是的中心，则这样的三棱锥称为正三棱锥.给出下列结论：
①正三棱锥所有棱长都相等；
②正三棱锥至少有一组对棱（如棱与）不垂直；
③当正三棱锥所有棱长都相等时，该棱锥内任意一点到它的四个面的距离之和为定值；
④若正三棱锥所有棱长均为，则该棱锥外接球的表面积等于.
⑤若正三棱锥的侧棱长均为2，一个侧面的顶角为，过点的平面分别交侧棱，于，.则周长的最小值等于.
以上结论正确的是______（写出所有正确命题的序号）.

5 . “辛卜生公式”给出了求几何体体积的一种计算方法:夹在两个平行平面之间的几何体,如果被平行于这两个平面的任何平面所截,截得的截面面积是截面高（不超过三次）的多项式函数,那么这个几何体的体积,就等于其上底面积、下底面积与四倍中截面面积的和乘以高的六分之一.即:,式中,,,依次为几何体的高,下底面积,上底面积,中截面面积.如图,现将曲线与直线及轴围成的封闭图形绕轴旋转一周得到一个几何体.利用辛卜生公式可求得该几何体的体积

A．

B．

C．

D．

6 . 如图，某款酒杯容器部分的形状为圆锥，且该圆锥的轴截面为边长是的正三角形.若在该酒杯内放置一个圆柱形冰块，要求冰块高度不超过酒杯口高度，则酒杯可放置圆柱形冰块的最大体积为___________.

7 . 一个透明密闭的正方体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器中的形状可以是:①三角形；②菱形；③矩形；④正方形；⑤正六边形，则其中判断正确的个数是_________.

10 . 某同学使用某品牌暖水瓶，其内胆规格如图所示．若水瓶内胆壁厚不计，且内胆如图分为①②③④四个部分，它们分别为一个半球、一个大圆柱、一个圆台和一个小圆柱体．若其中圆台部分的体积为，且水瓶灌满水后盖上瓶塞时水溢出．记盖上瓶塞后，水瓶的最大盛水量为，

（1）求；
（2）该同学发现：该品牌暖水瓶盛不同体积的热水时，保温效果不同．为了研究保温效果最好时暖水瓶的盛水体积，做以下实验：把盛有最大盛水量的水的暖水瓶倒出不同体积的水，并记录水瓶内不同体积水在不同时刻的水温，发现水温（单位：℃）与时刻满足线性回归方程，通过计算得到下表：

倒出体积	0	30	60	90	120
拟合结果
倒出体积	150	180	210	…	450
拟合结果				…

注：表中倒出体积（单位：）是指从最大盛水量中倒出的那部分水的体积．其中：
令．对于数据，可求得回归直线为，对于数据，可求得回归直线为．
（ⅰ）指出的实际意义，并求出回归直线的方程（参考数据：）；
（ⅱ）若与的交点横坐标即为最佳倒出体积，请问保温瓶约盛多少体积水时（盛水体积保留整数，且取3.14）保温效果最佳？
附：对于一组数据，其回归直线中的斜率和截距的最小二乘估计分别为．