解题方法
1 . 如图，在棱长均相等的平行六面体
中，用空间向量证明下列结论．
(1)若
，求证：
平面
；
(2)若
是棱
的中点，
是
上靠近点
的三等分点，求证：
三点共线．
中，用空间向量证明下列结论．(1)若
，求证：平面；(2)若
是棱的中点，是上靠近点的三等分点，求证：三点共线．
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解题方法
2 . 一副三角板如图（1），将其中的
沿
折起，构造出如图（2）所示的三棱锥，为
的中点，连接
，使得
.
(1)取中点
，连接
，设平面
平面
，求证：
；
(2)证明：平面
⊥平面
；
(3)求直线与平面
所成角的正弦值.
沿折起，构造出如图（2）所示的三棱锥，为的中点，连接，使得.(1)取
中点，连接，设平面平面，求证：；(2)证明：平面
⊥平面；(3)求直线
与平面所成角的正弦值.
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名校
解题方法
3 . 如图，在四棱锥
中，
，且
.
(1)若
平面
，证明：点为棱
的中点；
(2)已知二面角
的大小为
，当平面
和平面
的夹角为
时，求证：
.
中，，且.(1)若
平面，证明：点为棱的中点；(2)已知二面角
的大小为，当平面和平面的夹角为时，求证：.
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2023-04-10更新
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469次组卷
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3卷引用：山西省山西大学附属中学校2023届高三下学期5月月考数学试题
名校
4 . 如图，在棱长为2的正方体中，，，
分别为
，
，
的中点．
(1)求证：
平面
；
(2)试在棱
上找一点
，使
平面，并证明你的结论．
中，，，分别为，，的中点．(1)求证：
平面；(2)试在棱
上找一点，使平面，并证明你的结论．
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2022-03-27更新
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154次组卷
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4卷引用：山西省临汾市洪洞县向明中学2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题
山西省临汾市洪洞县向明中学2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题福建省仙游县枫亭中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题山东省东营市广饶县第一中学2022-2023学年高二上学期10月月考数学试题（已下线）专题03空间向量及其运算的坐标表示（5个知识点4种题型1个易错点）（2）
名校
5 . 如图，在四棱锥
中，四边形
是矩形，
是正三角形，且平面
平面，
，
为棱
的中点，四棱锥的体积为
．
为棱
的中点，求证：
平面
；
(2)在棱
上是否存在点，使得平面
与平面
所成锐二面角的余弦值为
？若存在，指出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由.
中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为．
为棱的中点，求证：平面；(2)在棱
上是否存在点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，指出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由.
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2022-08-26更新
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4999次组卷
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25卷引用：山西省山西大附属中学2023届高三上学期8月模块诊断数学试题
山西省山西大附属中学2023届高三上学期8月模块诊断数学试题江苏省南京市六校联合体2022-2023学年高三上学期8月联合调研数学试题福建省厦门外国语学校2023届高三上学期第一次月考数学试题（已下线）江苏省南通市如皋市2022-2023学年高三上学期10月诊断调研测试数学试题湖南省长沙市长郡中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题（已下线）江苏省南通市如皋市2022-2023学年高三上学期期中模拟数学试题（已下线）专题16 空间向量及其应用（练习）-2黑龙江省哈尔滨市宾县第二中学2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题四川省资阳市安岳县安岳县周礼中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题（已下线）河北省石家庄精英中学2023届高三上学期第四次调研数学试题云南省昆明市第三中学2023届高三上学期12月月考数学试题广东省韶关市武江区广东北江实验学校2022-2023学年高二下学期期中数学试题（已下线）专题1.10 空间向量的应用-重难点题型检测-2022-2023学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第一册）福建省厦门双十中学2023届高三上学期10月考试数学试题（已下线）高二上学期期中复习【第一章 空间向量与立体几何】十大题型归纳（拔尖篇）-2023-2024学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第一册）四川省仁寿第一中学校南校区2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题吉林省吉林市第四中学2023-2024学年高二上学期9月月考数学试题福建省漳州市第三中学2024届高三上学期10月月考数学试题吉林省长春市朝阳区长春外国语学校2023-2024学年高二上学期期中数学试题湖南省邵阳市第二中学2023-2024学年高二上学期11月期中数学试题重庆市云阳县云阳高级中学校2023-2024学年高二上学期第二次月考数学试题广东省东莞市东莞外国语学校2023-2024学年高二上学期第二次段考数学试题重庆市九龙坡区渝高中学校2024届高三上学期第三次质量检测数学试题湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高二寒假作业检测数学试卷江苏省五市十一校2023-2024学年高二下学期5月阶段联考数学试题
6 . 如图，在三棱柱ABC−
中，
平面ABC，D，E，F，G分别为
，AC，
，的中点，AB=BC=
，AC==2．
（2）求二面角B−CD−C1的余弦值；
（3）证明：直线FG与平面BCD相交．
中，平面ABC，D，E，F，G分别为，AC，，的中点，AB=BC=，AC==2．
（2）求二面角B−CD−C1的余弦值；
（3）证明：直线FG与平面BCD相交．
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2018-06-09更新
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14758次组卷
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34卷引用：【全国百强校】山西省祁县中学2018-2019学年高二上学期期末模拟一考试数学（理）试题
【全国百强校】山西省祁县中学2018-2019学年高二上学期期末模拟一考试数学（理）试题山西省山西大学附中2019-2020学年高二（12月份）第四次诊断数学（理科）试题2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（北京卷）（已下线）2018年高考题及模拟题汇编 【理科】5．立体几何【全国百强校】江西省南昌市第十中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学（理）试题北京市2019届高三数学理一轮复习典型题专项训练：立体几何四川省棠湖中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学（理）试题（已下线）专题8.6 空间向量及空间位置关系（练）【理】-《2020年高考一轮复习讲练测》（已下线）专题8.6 空间向量及空间位置关系（讲）【理】-《2020年高考一轮复习讲练测》江苏省徐州市侯集高级中学2019-2020学年高二上学期期末数学试题2020届北京市昌平区新学道临川学校高三上学期第三次月考数学（理）试题2020届北京市昌平区新学道临川学校高三上学期第三次月考数学（文）试题（已下线）专题06 立体几何（解答题）——三年（2018-2020）高考真题理科数学分项汇编（已下线）专题17 立体几何综合-五年（2016-2020）高考数学（理）真题分项（已下线）专题8.6 空间向量及其运算和空间位置关系（精讲）--2021年高考数学(理)一轮复习讲练测（已下线）专题8.6 空间向量及其运算和空间位置关系（精讲）-2021年高考数学（理）一轮复习学与练（已下线）专题4.4 空间向量与立体几何-2021年高考数学解答题挑战满分专项训练（新高考地区专用）四川省成都市双流区棠湖中学2018-2019学年高二上学期期末数学（理）试题云南省昭通市昭阳第一中学2020-2021学年高一12月月考数学（理）试题北京市第四十三中学2020-2021学年高二下学期第一次月考数学试题（已下线）专题10 立体几何-五年（2017-2021）高考数学真题分项（新高考地区专用）（已下线）第37讲 立体几何中的向量方法 （讲） — 2022年高考数学一轮复习讲练测（课标全国版）福建省泉州科技中学2021-2022学年高二上学期第一次月考数学试题北京市昌平区第一中学2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题北京市景山学校2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题辽宁省沈阳市五校协作体2021-2022学年高二上学期期中数学试题北京市第九中学2022届高三12月统练（月考）数学试题（已下线）专题8.7 立体几何中的向量方法（练）【理】-《2020年高考一轮复习讲练测》（已下线）专题24 空间向量与空间角的计算-十年（2011-2020）高考真题数学分项（已下线）重组卷03北京外国语大学附属中学2022届高三模拟数学试题北京十年真题专题07立体几何与空间向量北京市第一零一中学2023-2024学年高三上学期数学统练五云南省大理白族自治州民族中学2023-2024学年高二下学期5月期中数学试题
名校
7 . 在四棱锥中，
，
，
和
都是边长为2的等边三角形，设在底面的射影为.
(1)求证：是中点；
(2)证明：
；
(3)求二面角
的余弦值.
中，，，和都是边长为2的等边三角形，设在底面的射影为.(1)求证：
是中点；(2)证明：
；(3)求二面角
的余弦值.
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2017-03-06更新
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883次组卷
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5卷引用：山西省孝义市2017-2018学年高二上学期期末考试数学（理）试题.
8 . 如图，在四棱锥中，平面
底面，
，
，
，
，
，
．
平面；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值．
中，平面底面，，，，，，．
平面；(2)求直线
与平面所成角的正弦值．
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解题方法
9 . 如图，四棱柱的底面是平行四边形，
底面，
.
平面
；
(2)求
与平面
所成角的正弦值；
(3)求平面
与平面夹角的余弦值.
的底面是平行四边形，底面，.
平面；(2)求
与平面所成角的正弦值；(3)求平面
与平面夹角的余弦值.
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10 . 如图，是边长为2的正六边形
所在平面外一点，
的中点为在平面内的射影，
．
(1)证明：
平面．
(2)若
，二面角
的大小为，求
．
是边长为2的正六边形所在平面外一点，的中点为在平面内的射影，． (1)证明：
平面．(2)若
，二面角的大小为，求．
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