1 . 如图，正边长为分别是边的中点，现沿着将折起，得到四棱锥，点为中点．

(1)求证：平面
(2)若，求四棱锥的表面积．
(3)过的平面分别与棱相交于点，记与的面积分别为、，若，求的值．

2 . 把边长为2的正方形沿对角线折起，如图，点翻折到点，

(1)当折起的三角形所在的平面与底面所成角（即二面角）为时，求三棱锥的体积；
(2)当三角形翻折到什么位置（即二面角多大时），三棱锥的体积最大（不需要证明）.并求此时三棱锥的表面积.

3 . 仓库的房顶呈正四棱锥形，量得底面的边长为2.6m，侧棱长2.1m，现要在房顶上铺一层油毡纸，那么所需油毡纸的面积是多少？

4 . 如图（1），埃及胡夫金字塔大约建于公元前2580年，其形状为正四棱锥．已知该金字塔高约146.5m，底面边长约232m，求这座金字塔的侧面积和体积（分别精确到和）．

   

5 . 已知任意三角形的三边长分别为，内切圆半径为，则此三角形的面积可表示为.其原理是由内切圆的圆心与三角形三个顶点的连线把三角形分割成三个小三角形，每个小三角形的面积等于大三角形的边长与内切球半径的乘积的，三个小三角形面积相加即得.请运用类比思想，解决空间四面体中的以下问题.
   
(1)已知四面体四个面的面积分别为，，，，内切球的半径为，请运用类比思想，写出该四面体的中的相应结论；
(2)应用（1）中的结论求解：已知三棱锥（又叫四面体），三条侧棱，，两两垂直，且，求此三棱锥的内切球半径.

6 . 如图，已知三棱锥的三条侧棱，，两两垂直，且，，，三棱锥的外接球半径.
   
(1)求三棱锥的侧面积的最大值；
(2)若在底面上，有一个小球由顶点处开始随机沿底边自由滚动，每次滚动一条底边，滚向顶点的概率为，滚向顶点的概率为；当球在顶点处时，滚向顶点的概率为，滚向顶点的概率为；当球在顶点处时，滚向顶点的概率为，滚向顶点的概率为.若小球滚动3次，记球滚到顶点处的次数为，求数学期望的值.

7 . 如图一，将边长为2的正方形剪去四个全等的等腰三角形后，折成如图二所示的正四棱锥.记该正四棱锥的斜高为（侧面三角形的高），.

(1)求证：；
(2)将折起来后所得正四棱锥的表面积记为，请将表示为的函数，并求的范围.

8 . 如图所示，施工队欲用钢板搭建一个总高为12米的仓库，仓库由上部屋顶和下部主体两部分组成，屋顶的形状呈正四棱锥，可用四块完全一样的三角形钢板拼接而成：主体的形状呈正四棱柱，可用四块完全一样的长方形钢板拼接而成．已知屋顶的造价与屋顶的面积成正比，比例系数为k，主体的造价与主体的高度成正比，比例系数为4k，其中k为大于零的常数．

(1)设，，求屋顶的面积S（用a，b表示）；
(2)若施工队采用的三角形钢板的形状为等边三角形，长方形钢板的形状为正方形，求屋顶与主体的造价的比值（精确到1）；
(3)若主体的底面是边长为6的正方形，施工队应选择何种尺寸的钢板，才能使得搭建合库的工程最经济实惠？

9 . 设正六棱锥的底面积为，高为h，侧面积为S，
(1)将S表示为h的函数；
(2)当时，求的正弦值；
(3)将F到平面的距离d表示为h的函数，并求d的取值范围．

10 . 如图，平面内有半径为a的圆O，过直径的端点A作，，C是圆O上一点，，求三棱锥的侧面积．