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解题方法
1 . 在菱形中,.将菱形沿对角线折成大小为()的二面角,若折成的四面体内接于球,则下列说法正确的是( )
A.四面体的体积的最大值是 |
B.的取值范围是 |
C.四面体的表面积的最大值是 |
D.当时,球的体积为 |
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2 . 在四面体中,都是边长为6的正三角形,棱与平面所成角的余弦值为,球与该四面体各棱都相切,则( )
A.四面体为正四面体 |
B.四面体的外接球的体积为 |
C.球的表面积为 |
D.球被四面体的表面所截得的各截面圆的周长之和为 |
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3 . 下列命题中正确的是( )
A.用与球心距离为1的平面去截球,所得截面圆的面积为,则球的表面积为 |
B.圆柱形容器底半径为,两直径为的玻璃球都浸没在容器的水中,若取出这两个小球,则容器内水面下降的高度为 |
C.正四棱台的上下底面边长分别为2,4,侧棱长为2,其体积为 |
D.已知圆锥的母线长为10,侧面展开图的圆心角为,则该圆锥的体积为 |
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解题方法
4 . 圆锥内半径最大的球称为该圆锥的内切球,若圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上,则称该球为圆锥的外接球.如图,圆锥的内切球和外接球的球心重合,且圆锥的底面直径为6,则( )
A.设圆锥的轴截面三角形为,则其为等边三角形 |
B.设内切球的半径为,外接球的半径为,则 |
C.设圆锥的体积为,内切球的体积为,则 |
D.设是圆锥底面圆上的两点,且,则平面截内切球所得截面的面积为 |
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5 . 在正三棱柱中,,则下列说法正确的是( )
A.若,则正三棱柱外接球的表面积为 |
B.若,在正三棱柱中放一个最大的球,该球的体积为 |
C.若往正三棱柱中装水,当侧面水平放置时,水面恰好过AC,BC,,的中点,那么当底面ABC水平放置时,水面高度为 |
D.若D是的中点,E是线段上的动点,则 |
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6 . 一个圆锥的侧面展开图是圆心角为,面积为的扇形,则下列论断正确的是( )
A.圆锥的母线与底面所成角的正弦值为 |
B.圆锥内部有一个圆柱,并使圆柱的一个底面落在圆锥的底面内,当圆柱的体积最大时,圆柱的高为 |
C.圆锥内部有一个球,当球的半径最大时,球的内接正四面体的棱长为 |
D.圆锥内部有一个正方体,并使底面落在圆锥的底面内,当正方体的棱长最大时,正方体的表面上与点距离为的点的集合形成一条曲线,则这条曲线长度为 |
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解题方法
7 . 柏拉图实体,也称为柏拉图多面体,是一组具有高度对称性的几何体.它们的特点是每个面都是相同的正多边形,每个顶点处的面的排列也完全相同.正八面体就是柏拉图实体的一种.如图是一个棱长为2的正八面体.甲、乙二人使用它作游戏:甲任选三个顶点,乙任选三个面的中心点,构成三角形.甲、乙选择互不影响,下列说法正确的是( )
A.该正八面体的外接球的体积为 |
B.平面截该正八面体的外接球所得截面的面积为 |
C.甲能构成正三角形的概率为 |
D.甲与乙均能构成正三角形的概率为 |
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8 . 约翰逊多面体是指除了正多面体、半正多面体(包括13种阿基米德多面体、无穷多种侧棱与底棱相等的正棱柱、无穷多种正反棱柱)以外,所有由正多边形面组成的凸多面体.其中,由正多边形构成的台塔是一种特殊的约翰逊多面体,台塔,又叫帐塔、平顶塔,是指在两个平行的多边形(其中一个的边数是另一个的两倍)之间加入三角形和四边形所组成的多面体.各个面为正多边形的台塔,包括正三、四、五角台塔.如图是所有棱长均为1的正三角台塔,则( )
A.该台塔共有15条棱 | B.平面 |
C.该台塔高为 | D.该台塔外接球的体积为 |
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2024高一下·全国·专题练习
9 . 正月十五元宵节,中国民间有观赏花灯的习俗.在2024年元宵节,小明制作了一个“半正多面体”形状的花灯(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体,体现了数学的对称美.图2是一个棱数为24的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为2.关于该半正多面体的四个结论中正确结论的是( )
A.棱长为 |
B.两条棱所在直线异面时,这两条异面直线所成角的大小是60° |
C.表面积为 |
D.外接球的体积为 |
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10 . 将边长为4的正方形沿对角线折起,使点不在平面内,则下列命题是真命题的是( )
A.不论二面角为何值,总有 |
B.当二面角为时, |
C.当二面角为时,是等边三角形 |
D.不论二面角为何值,四面体外接球的体积为 |
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