1 . 如图所示，在三棱柱中，是正三角形，D为棱AC的中点，，平面交于点E.
   
(1)证明：四边形是矩形
(2)若，，求平面与平面的夹角的余弦值.

2 . 如图，正方体中，，点分别为棱上的点（不与端点重合），且.
   
(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积的最大值；
(3)点在平面内运动（含边界），当时，求直线与直线所成角的余弦值的最大值.

3 . 如图，在几何体中，已知四边形是正方形，，分别为的中点，为上靠近点的四等分点.

   

(1)证明：//平面；
(2)证明：平面//平面.

4 . 已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面AA₁B₁B为正方形，AB=BC=2，且，E，F分别为AC和CC₁的中点，D为棱上的点．

(1)证明：；
(2)在棱A₁B₁上是否存在一点M，使得异面直线MF与AC所成的角为30°？ 若存在，指出M的位置；若不存在，说明理由．

5 . 如图，在四棱锥中，平面PAD，且，，M为PC中点．

(1)求证：平面PAD；
(2)求证：平面PCD．

6 . 如图，在三棱锥S—ABC中，SC⊥平面ABC，点P、M分别是SC和SB的中点，设PM=AC=1，∠ACB=90°，直线AM与直线SC所成的角为60°.

(1)求证：平面MAP⊥平面SAC.
(2)求二面角M—AC—B的平面角的正切值；

7 . 如图，平面四边形中，，，，以为折痕将折起，使点到达点的位置，且.

（1）若为棱中点，求异面直线与所成角的余弦值；
（2）证明：平面平面；
（3）求二面角的平面角的正弦值.

8 . 如图，在正四棱柱中，，，E，M，N分别是，，的中点.

（1）求三棱锥的体积；
（2）求异面直线与所成角的余弦值.