1 . 如图，在四棱锥中，，．
   
(1)求证：平面平面；
(2)若线段上存在点，满足，且平面与平面的夹角的余弦值为，求实数的值．

2 . 如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，D，E分别是线段的中点，在平面内的射影为D．

   

(1)求证：平面；
(2)若点F为棱的中点，求三棱锥的体积；
(3)在线段上是否存在点G，使二面角的大小为，若存在，请求出的长度，若不存在，请说明理由．

3 . 如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，侧面为正三角形，为的中点，为线段上的点.

(1)若为线段的中点，求证：//平面；
(2)当时，求平面与平面夹角的余弦值的范围.

4 . 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，是正三角形，为线段的中点，点为棱上的动点.

(1)求证：平面平面；
(2)若平面平面.
①当点恰为中点时，求异面直线与所成角的余弦值；
②在平面内确定一点，使的值最小，并求此时的值.

5 . 如图，三棱锥P-ABC所有棱长都等，PO⊥平面ABC，垂足为O．点，分别在平面PAC，平面PAB内，线段，都经过线段PO的中点D．

(1)证明：平面ABC；
(2)求直线AP与平面所成角的正弦值．

6 . 如图，直三棱柱中，，，，分别为，的中点．

（1）证明：平面；
（2）已知与平面所成的角为30°，求二面角的余弦值．

7 . 如图，四棱锥的底面为直角梯形，，，，，平面平面，二面角的大小为，，为线段的中点，为线段上的动点．

（1）求证：平面平面；
（2）是否存在点，使二面角的大小为，若存在，求的值，不存在说出理由．

8 . 某人设计了一个工作台，如图所示，工作台的下半部分是个正四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁，其底面边长为4，高为1，工作台的上半部分是一个底面半径为的圆柱体的四分之一．

（1）当圆弧E₂F₂（包括端点）上的点P与B₁的最短距离为5时，证明：DB₁⊥平面D₂EF．
（2）若D₁D₂＝3．当点P在圆弧E₂E₂（包括端点）上移动时，求二面角P﹣A₁C₁﹣B₁的正切值的取值范围．

9 . 如图1，在直角梯形中，，，点在上，且，将沿折起，使得平面平面(如图2).为中点

(1)求证:；
(2)求四棱锥的体积；
(3)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由

10 . 如图，在四棱锥中，底面，底面是正方形，且，是的中点．

求证：直线平面；
求直线与平面的夹角的正弦值．