1 . 如图所示，有一个棱长为4的正四面体
容器，
是
的中点，
是
上的动点，则下列说法正确的是（ ）
① 若是的中点，则直线
与所成角为
②
的周长最小值为
③ 如果在这个容器中放入1个小球（全部进入），则小球半径的最大值为
④ 如果在这个容器中放入10个完全相同的小球（全部进入），则小球半径的最大值为
容器，是的中点，是上的动点，则下列说法正确的是（ ）① 若
是的中点，则直线与所成角为②
的周长最小值为③ 如果在这个容器中放入1个小球（全部进入），则小球半径的最大值为
④ 如果在这个容器中放入10个完全相同的小球（全部进入），则小球半径的最大值为
| A．①② | B．①③ | C．②④ | D．①③④ |
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名校
解题方法
2 . 足球起源于中国古代的蹴鞠游戏．“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，已知某“鞠”的表面上有四个点
，满足
，
面ABC，
⊥
，若
，则该“鞠”的体积的最小值为（ ）
，满足，面ABC，⊥，若，则该“鞠”的体积的最小值为（ ）A． | B． | C． | D． |
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2023-01-18更新
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1014次组卷
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4卷引用：天津市新华中学2023届高三下学期统练(3)数学试题
天津市新华中学2023届高三下学期统练(3)数学试题湖南省岳阳市华容县2023届高三上学期普通高中新高考适应性考试数学试题河北省定州市2022-2023学年高二上学期期末数学试题（已下线）模块四 专题4 暑期结束综合检测4（能力卷）（人教B）
名校
3 . 如图，在直三棱柱
中，
，
，
，
，点是
的中点．
（1）求证：
；
（2）求证：
平面
；
（3）求二面角
正切值的大小．
中，，，，，点是的中点．（1）求证：
；（2）求证：
平面；（3）求二面角
正切值的大小．
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2021-05-08更新
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1627次组卷
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3卷引用：天津市河东区2021届高三下学期二模数学试题
天津市河东区2021届高三下学期二模数学试题（已下线）专题06 空间向量与立体几何（难点）-2020-2021学年高二数学下学期期末专项复习（北师大版2019选择性必修第一册、第二册）河北省易县中学2020-2021学年高一下学期5月月考数学试题
名校
4 . 如图，已知三棱柱，平面
平面ABC，
，
，E，F分别是AC，
的中点．请你用几何法解决下列问题：
（1）证明：
；
（2）求直线EF与平面
所成角的余弦值；
（3）求二面角
的正弦值
，平面平面ABC，，，E，F分别是AC，的中点．请你用几何法解决下列问题：（1）证明：
；（2）求直线EF与平面
所成角的余弦值；（3）求二面角
的正弦值
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2021-05-07更新
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4085次组卷
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7卷引用：天津市河西区2021届高三下学期总复习质量调查(一)数学试题
天津市河西区2021届高三下学期总复习质量调查(一)数学试题（已下线）2021年高考数学（理）押题预测卷（新课标III卷）03（已下线）【新东方】高中数学20210429—016【2021】【高一下】（已下线）专题05 立体几何初步（重点）-2020-2021学年高一数学下学期期末专项复习（北师大版2019必修第二册）浙江省杭州市第二中学2020-2021学年高一下学期期中数学试题四川省成都市锦江区嘉祥外国语高级中学2022-2023学年高一下学期6月月考数学试题专题12空间中直线、平面的平行与垂直关系（解答题）
名校
5 . 如图1，在
中，，分别为，的中点，
为
的中点，
，.将
沿折起到
的位置，使得平面
平面
，如图2.
（1）求证：
.
（2）求直线
和平面
所成角的正弦值.
（3）线段上是否存在点
，使得直线
和所成角的余弦值为
？若存在，求出
的值；若不存在，说明理由.
中，，分别为，的中点，为的中点，，.将沿折起到的位置，使得平面平面，如图2.（1）求证：
.（2）求直线
和平面所成角的正弦值.（3）线段
上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
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2021-02-02更新
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2429次组卷
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12卷引用：天津市南开中学2021届高三下学期统练25数学试题
天津市南开中学2021届高三下学期统练25数学试题天津市南开中学2024届高三上学期统练8数学试题天津市第四十七中学2021-2022学年高二上学期第一次月考数学试题吉林省延边州2023届高三统考二模数学试题（已下线）专题14 押全国卷（理科）第18题 立体几何安徽省合肥一中、六中、八中2020-2021学年高二上学期期末理科数学试题安徽省合肥市第六中学2020-2021学年高二上学期期末数学(理)试题（已下线）专题05 空间向量与立体几何（重点）-2020-2021学年高二数学下学期期末专项复习（北师大版2019选择性必修第一册、第二册）福建省南平市浦城县2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题广东省梅州市五华县水寨中学学等五校2022-2023学年高二上学期10月联考数学试题广东省梅州市五校（虎山中学、丰顺中学、水寨中学、梅州中学、平远中学）2022-2023学年高二上学期期中联考数学试题（已下线）第3章 空间向量及其应用 单元综合检测（重点）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第一册）
名校
6 . 已知三棱锥的顶点
在底面的射影为的垂心，若
，且三棱锥的外接球半径为3，则
的最大值为________ ．
的顶点在底面的射影为的垂心，若，且三棱锥的外接球半径为3，则的最大值为
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2020-09-14更新
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859次组卷
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5卷引用：天津市2021届高三高考模拟数学试题
名校
7 . 如图，在四棱锥
中，底面
是矩形，
是
的中点，
平面，且
，
．
（1）求证：
；
（2）求
与平面
所成角的正弦值；
（3）求二面角
的余弦值．
中，底面是矩形，是的中点，平面，且，．（1）求证：
；（2）求
与平面所成角的正弦值；（3）求二面角
的余弦值．
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2020-03-22更新
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1215次组卷
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6卷引用：天津市军粮城中学2022-2023学年高三上学期期中数学试题
名校
8 . 如图，由直三棱柱和四棱锥
构成的几何体中，
，平面
平面
（I）求证：
；
（II）若M为
中点，求证：
平面
；
（III）在线段BC上（含端点）是否存在点P，使直线DP与平面所成的角为
？若存在，求
得值，若不存在，说明理由.
和四棱锥构成的几何体中，，平面平面（I）求证：
；（II）若M为
中点，求证：平面；（III）在线段BC上（含端点）是否存在点P，使直线DP与平面
所成的角为？若存在，求得值，若不存在，说明理由.
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2018-05-19更新
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3585次组卷
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12卷引用：【全国市级联考】天津市河北区2018年高三二模数学（理）试题
【全国市级联考】天津市河北区2018年高三二模数学（理）试题2020届天津市第一百中学高考模拟数学试题2017届北京市海淀区高三下学期期中考试数学理试卷湖南省怀化市2018-2019学年高三下学期期末博览联考数学（理）试题（已下线）理科数学-2020年高考押题预测卷01（新课标Ⅰ卷）《2020年高考押题预测卷》江苏省苏州市新草桥中学2020-2021学年高三上学期10月月考数学试题北京市东城区第一七一中学2024届高三上学期12月月考数学试题河北省衡水中学2016-2017学年高一下学期期末考试数学（理）试题山西省山西大学附属中学2018-2019学年高二上学期期中数学（理）试题湖北省武汉市蔡甸区汉阳一中2020-2021学年高二上学期9月月考数学试题北京市第五十七中学2021-2022学年高二10月月考数学试题北京第五十七中学2020-2021学年高二上学期期末试题
名校
9 . 如图1，在边长为3的正三角形中，，，分别为，，上的点，且满足
.将
沿
折起到
的位置，使平面
平面
，连结
，
，
.（如图2）
（Ⅰ）若
为中点，求证：
平面；
（Ⅱ）求证：
；
（Ⅲ）求与平面
所成角的正切.
，，分别为，，上的点，且满足.将沿折起到的位置，使平面平面，连结，，.（如图2）（Ⅰ）若
为中点，求证：平面；（Ⅱ）求证：
；（Ⅲ）求
与平面所成角的正切.
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