1 . 如图，在正三棱锥
中，
分别为
的中点．
(1)求证：四边形
为矩形．
(2)若四边形为正方形，求直线
与平面
所成角的正弦值．
中，分别为的中点．(1)求证：四边形
为矩形．(2)若四边形
为正方形，求直线与平面所成角的正弦值．
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解题方法
2 . 如图①，在棱长为1的正方体
中，E是棱
上的一个动点．
(1)求证：三棱锥
的体积是定值；
(2)是否存在点E，使得
平面
，若存在请找出点E的位置，若不存在，说明理由；
(3)定义：与两条异面直线都垂直且相交的直线称为这两条异面直线的公垂线，公垂线的两个垂足之间的线段称为异面直线的公垂线．两条异面直线的公垂线段，是连接两条异面直线所有线段中的最短线段．
根据以上定义及性质解决如下问题：
如图②中，M为线段
的中点，线段
（不包括两个端点）上有一个动点N，过点
、
、
作正方体的截面
．
①判断截面的形状，并说明理由；
②当截面的面积取得最小值时，求点N的位置．
中，E是棱上的一个动点．(1)求证：三棱锥
的体积是定值；(2)是否存在点E，使得
平面，若存在请找出点E的位置，若不存在，说明理由；(3)定义：与两条异面直线都垂直且相交的直线称为这两条异面直线的公垂线，公垂线的两个垂足之间的线段称为异面直线的公垂线．两条异面直线的公垂线段，是连接两条异面直线所有线段中的最短线段．
根据以上定义及性质解决如下问题：
如图②中，M为线段
的中点，线段（不包括两个端点）上有一个动点N，过点、、作正方体的截面．①判断截面
的形状，并说明理由；②当截面
的面积取得最小值时，求点N的位置．
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名校
解题方法
3 . 直三棱柱
中，点
为棱
的中点，
，
．
(1)求证：
平面
；
(2)求证：
平面
；
(3)判断是否存在经过的平面满足
，并说明理由．
中，点为棱的中点，，．(1)求证：
平面；(2)求证：
平面；(3)判断是否存在经过
的平面满足，并说明理由．
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2018·天津·二模
名校
4 . 如图，梯形ABCD所在的平面与等腰梯形ABEF所在的平面互相垂直，
，
，
，
.
(1)求证：
平面BCE；
(2)求二面角
的余弦值；
(3)线段CE上是否存在点G，使得
平面BCF？请说明理由.
，，，.(1)求证：
平面BCE；(2)求二面角
的余弦值；(3)线段CE上是否存在点G，使得
平面BCF？请说明理由.
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2021-12-21更新
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1026次组卷
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13卷引用：北京市第四中学2023~2024学年高二上学期期中考试数学试题
（已下线）北京市第四中学2023~2024学年高二上学期期中考试数学试题【全国百强校】天津市耀华中学2018届高三年级第二次模拟考试数学(理)试题【百强校】云南省玉溪一中2018-2019学年高二上学期期末考试数学理试题上海市进才中学2017-2018学年高二下学期期末数学试题四川省乐山市2019-2020学年高二上学期期末数学（理）试题广东省广州市第八十九中学2021-2022学年高二上学期第一次月考数学试题北京市中央民族大学附属中学2022届高三12月月考数学试题重庆市暨华中学校2021-2022学年高二上学期10月月考数学试题（已下线）易错点10 立体几何-备战2022年高考数学考试易错题（新高考专用）北京市育才学校2022届高三下学期仿真测试数学试题北京市第二中学2022-2023学年高二下学期第六学段（期末）考试数学试题广东省广州市培英中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题黑龙江省哈尔滨市第四中学校2023-2024学年高二上学期11月月考数学试题
名校
解题方法
5 . 如图所示，在四棱锥
中，底面
为正方形，
为侧棱
的中点．
（1）设经过
、
、三点的平面交
于
，证明：为的中点；
（2）若
底面，且
，求四面体
的体积．
中，底面为正方形，为侧棱的中点．（1）设经过
、、三点的平面交于，证明：为的中点；（2）若
底面，且，求四面体的体积．
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2021-08-09更新
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1201次组卷
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4卷引用：广东省佛山市第一中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题
6 . 如图所示，在直角梯形中，
，M为线段的中点，将
沿折起，得到几何体．
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）已知
，求直线
与平面
所成角的正弦值．
中，，M为线段的中点，将沿折起，得到几何体． （Ⅰ）求证：
；（Ⅱ）已知
，求直线与平面所成角的正弦值．
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2020-11-26更新
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1717次组卷
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5卷引用：【新东方】【2020】【高二上】【期中】【HD-LP364】【数学】
（已下线）【新东方】【2020】【高二上】【期中】【HD-LP364】【数学】广东省肇庆市第一中学2020-2021学年高一下学期期中数学试题广东省广州市秀全中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题（已下线）【新东方】杭州新东方高中数学试卷400广东省佛山市南海区九江中学2022-2023学年高一下学期第三次大测数学试题
解题方法
7 . 如图，在四棱锥中，平面，
，
，
，
，E为的中点，F为
的中点.
（1）求证：
平面
；
（2）求点D到平面
的距离.
中，平面，，，，，E为的中点，F为的中点.（1）求证：
平面；（2）求点D到平面
的距离.
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2020-07-23更新
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652次组卷
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3卷引用：安徽省安庆市怀宁县第二中学2020-2021学年高二上学期期中数学(文)试题
8 . 如图，
垂直圆O所在的平面，是圆O的一条直径，C为圆周上异于A，B的动点，D为弦的中点，
.
（1）证明：平面
平面；
（2）若
，求平面与平面
所成锐二面角的余弦值.
垂直圆O所在的平面，是圆O的一条直径，C为圆周上异于A，B的动点，D为弦的中点，.（1）证明：平面
平面；（2）若
，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
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2020-03-18更新
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203次组卷
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2卷引用：河北省邯郸市六校2019届高三上学期期中大联考数学(理科)试题
9 . 如图，在四棱锥中，平面
平面
，
，
，
，
为
的中点．
（1）证明：
．
（2）求二面角
的余弦值．
中，平面平面，，，，为的中点．（1）证明：
．（2）求二面角
的余弦值．
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2019-10-29更新
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516次组卷
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2卷引用：西安市莲湖区2019-2020学年度第一学期高三数学期中考试（理科)
10 . 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，
，，平面，是棱上一点．
（1）证明：平面
平面．
（2）若
，
为点在平面上的投影，
，
，求四棱锥
的体积．
中，底面为直角梯形，，，平面，是棱上一点．（1）证明：平面
平面．（2）若
，为点在平面上的投影，，，求四棱锥的体积．
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2019-10-29更新
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511次组卷
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5卷引用：云南省楚雄彝族自治州2019-2020学年高二上学期期中数学（理）试题
