1 . 如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为．

(1)若为棱的中点，求证：平面；
(2)在棱上是否存在点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，指出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由.

2 . 如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁C₁C是边长为4的正方形.平面ABC⊥平面AA₁C₁C，AB=3，BC=5.

（Ⅰ）求证：AA₁⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角A₁-BC₁-B₁的余弦值；
（Ⅲ）证明：在线段BC₁存在点D，使得AD⊥A₁B，并求的值.

3 . 正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，是等腰直角三角形，，

（1）求证：平面；
（2）设线段的中点为，在直线上是否存在一点，使得平面？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；

4 . 如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，分别是线段的中点，在平面内的射影为.

(1)求证：平面；
(2)若点为棱的中点，求点到平面的距离；
(3)若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围.

6 . 如图，在四棱锥中，底面是菱形，与交于点，平面平面为线段上的一点．
   
(1)证明：平面；
(2)若二面角余弦值为，求的值．

7 . 如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，平面.

(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面；
(3)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.

8 . 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面底面，侧棱与底面所成的角为．
   
(1)证明：平面平面；
(2)若平面平面，求二面角的正弦值．

9 . 如图，已知四边形为等腰梯形，为以为直径的半圆弧上一点，平面平面，为的中点，为的中点，，．

(1)求证：平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值．

10 . 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，为棱的中点，，．
   
(1)求证：平面；
(2)求二面角平面角的大小.