解题方法
1 . 体积为
的正四面体内有一个球
，球与该正四面体的各面均有且只有一个公共点，
，
是球的表面上的两动点，点
在该正四面体的表面上运动，当
最大时，
的最大值是______ .
的正四面体内有一个球，球与该正四面体的各面均有且只有一个公共点，，是球的表面上的两动点，点在该正四面体的表面上运动，当最大时，的最大值是
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2023-12-14更新
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330次组卷
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3卷引用：上海市普陀区2024届高考一模数学试题
上海市普陀区2024届高考一模数学试题上海市上海师大附属宝山罗店中学2023-2024学年高二上学期期末诊断调研数学试题（已下线）第3章 空间向量及其应用 单元综合检测（重点）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第一册）
2023·上海浦东新·模拟预测
名校
2 . 已知
，对任意
都有
，则实数的最小值为______ .
，对任意都有，则实数的最小值为
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名校
解题方法
3 . 如图，
面
为矩形，连接
，下面各组向量中，数量积不一定为零的是（ ）
A． 与 | B． 与 |
C． 与 | D． 与 |
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2023-09-29更新
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163次组卷
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25卷引用：上海市奉贤区2021届高三二模数学试题
上海市奉贤区2021届高三二模数学试题（已下线）考向24空间向量与立体几何-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题（上海专用）（已下线）3.2空间向量基本定理（作业）-【教材配套课件+作业】2022-2023学年高二数学精品教学课件（沪教版2020选修第一册）（已下线）3.1空间向量及其运算（作业）（夯实基础+能力提升）-【教材配套课件+作业】2022-2023学年高二数学精品教学课件（沪教版2020选择性必修第一册）山西省朔州市应县第一中学校2019-2020学年高二上学期期末数学（理）试题北京市陈经纶中学2019-2020学年第一学期高二数学期中试题（已下线）课时1.1.2 空间向量及其运算（02）空间向量的数量积运算-2021-2022学年高二数学同步练习和分类专题教案（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）1.1 空间向量与运算-2021-2022学年高二数学同步速效提升练（人教A版2019选择性必修第一册）【学科网名师堂】（已下线）考向35 空间向量及其运算和空间位置关系（重点）-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题（新高考地区专用）广东省佛山市南海区里水高级中学2021-2022学年高二上学期第一次大测数学试题（已下线）解密10 空间向量与立体几何（讲义）-【高频考点解密】2022年高考数学二轮复习讲义+分层训练（浙江专用）（已下线）专题38：空间向量及其运算 -2023届高考数学一轮复习精讲精练（新高考专用）（已下线）专题1.3 空间向量的数量积运算-重难点题型精讲苏教版(2019) 必修第二册 过关斩将 第13章 专题强化练3 直线与平面的位置关系沪教版(2020) 选修第一册 同步跟踪练习 第3章 3.1~3.2 阶段综合训练河南省郑州市郑州外国语学校2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题人教A版(2019) 选择性必修第一册 过关斩将 第一章 空间向量与立体几何 1.1 空间向量及其运算 1.1.2 空间向量的数量积运算北京市昌平区首都师范大学附属回龙观育新学校2022-2023学年高二上学期10月月考数学试题（已下线）第07讲 空间向量的数量积运算9种常见考法归类（1）1.1.2 空间向量的数量积运算练习（已下线）第七章 立体几何与空间向量 第五节 空间向量与线、面位置关系（B素养提升卷)广东省东莞市光明中学2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题安徽省蚌埠市五河致远实验学校、固镇县汉兴学校2023-2024学年高二上学期10月联考数学试题（已下线）专题11 空间向量及其运算10种常见考法归类（2）（已下线）专题01 空间向量及其运算10种常见考法归类（2）
名校
解题方法
4 . 如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，
是一条侧棱，
是上底面上其余的八个点，则集合
中的元素个数（ ）．
| A．1 | B．2 | C．4 | D．8 |
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2023-10-20更新
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319次组卷
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28卷引用：上海市静安区2022届高三下学期6月最后阶段水平模拟数学试题
上海市静安区2022届高三下学期6月最后阶段水平模拟数学试题上海市曹杨第二中学2018-2019学年高二上学期期末复习试卷2数学试题上海市延安中学2018-2019学年高二下学期期中数学试题北京市中国人民大学附属中学2020届高三6月统一练习（三模）考试数学试题（已下线）3.1空间向量及其运算（作业）（夯实基础+能力提升）-【教材配套课件+作业】2022-2023学年高二数学精品教学课件（沪教版2020选择性必修第一册）上海市浦东中学2021-2022学年高一下学期期末数学试题上海市复旦大学附属中学2019-2020学年高二下学期4月月考数学试题上海市南汇中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题上海市同济大学第一附属中学2023-2024学年高二下学期质控1（3月）数学试卷【全国市级联考】福建省福州市八县（市）协作校2017-2018学年高二上学期期末联考数学（理）试题安徽省六安市舒城中学2020-2021学年高二上学期开学考试数学(文)试题北京市育英学校2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题福建省三明市第一中学2020-2021学年高二下学期开学考试数学试题广东省珠海市第二中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题人教A版(2019) 选修第一册 实战演练 第一章 课时练习 02 空间向量的数量积运算（已下线）专题1-1 集合-2022年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）（已下线）1.1 集合（精练）-【一隅三反】2023年高考数学一轮复习（提升版）（新高考地区专用）（已下线）专题1-1 集合题型归类-32023版 北师大版(2019) 选修第一册 名师精选卷 第十单元 空间直角坐标系、空间向量与向量运算、空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示A卷沪教版(2020) 选修第一册 精准辅导 第3章 3.1（2）空间向量的概念及运算（第2课时）（已下线）第11讲 平面向量-4（已下线）专题13 平面向量(模拟练)-2（已下线）专题08平面向量及其应用必考题型分类训练-2安徽师范大学附属中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题人教A版(2019) 选修第一册 数学奇书 第一章 学业评价（二）人教A版(2019) 选修第一册 数学奇书 第一章 空间向量与立体几何 1.1 空间向量及其运算 1.1.2 空间向量的数量积运算山西省太原市第五中学校2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题（已下线）专题 1.1 空间向量基本定理及基底求最值12种题型(1)
名校
5 . 已知MN是正方体内切球的一条直径，点Р在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则
的取值范围为（ ）
的取值范围为（ ）A． | B． | C． | D． |
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2021-10-28更新
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2858次组卷
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30卷引用：2020届上海市七宝中学高三高考押题卷数学试题
2020届上海市七宝中学高三高考押题卷数学试题2020届安徽省池州市高三下学期5月教学质量统一监测数学(理)试题（已下线）专题16 空间向量及其应用（模拟练）（已下线）3.1空间向量及其运算（作业）（夯实基础+能力提升）-【教材配套课件+作业】2022-2023学年高二数学精品教学课件（沪教版2020选择性必修第一册）（已下线）第3章 空间向量及其应用（基础、常考、易错、压轴）分类专项训练（原卷版）陕西省渭南市大荔县2019-2020学年高一下学期期末数学试题云南省会泽县茚旺高级中学2020-2021学年高二10月月考数学试题福建省福州市福州高级中学2020-2021学年高二上学期期中考数学试题（已下线）专题1.1 空间向量与空间向量基本定理（B卷提升篇）-2020-2021学年高二数学选择性必修第一册同步单元AB卷（新教材人教A版，浙江专用）（已下线）1.2 空间向量基本定理-2021-2022学年高二数学同步教与学全指导（学习导航+教学过程+课时训练）（人教A版2019选择性必修第一册）广东省佛山市南海区里水高级中学2021-2022学年高二上学期第一次大测数学试题新疆喀什莎车县第一中学2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题人教A版(2019) 选修第一册 实战演练 第一章 课时练习 02 空间向量的数量积运算（已下线）考点36 利用空间向量法解决立体几何的综合问题【理】-备战2022年高考数学典型试题解读与变式安徽省宣城中学2021-2022学年高二下学期开学考试数学试题四川省绵阳南山中学2021-2022学年高二下学期3月月考数学（理）试题（已下线）第07讲 空间向量基本定理 - -【暑假自学课】2022年新高二数学暑假精品课（人教版2019必修第二册+选择性必修第一册）陕西省渭南市大荔县2021-2022学年高一下学期期末数学试题（已下线）1.1.2 空间向量数量积的运算沪教版(2020) 选修第一册 同步跟踪练习 第3章 3.1 第2课时 空间向量的数量积运算与共线浙江省杭州第九中学2021-2022学年高二上学期期末数学试题（已下线）专题16 空间向量及其应用（练习）-2（已下线）期中测试卷（能力篇）（范围：第一章+第二章椭圆）-2022-2023学年高二数学上学期同步知识梳理+考点精讲精练(人教B版2019选择性必修第一册)河北省石家庄市十八中2022-2023学年高二下学期开学考试数学试题陕西省西安市长安区第一中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题（已下线）高二上学期期中【易错60题考点专练】（选修一全部内容）-2022-2023学年高二数学考试满分全攻略（人教A版2019选修第一册）（已下线）高二上学期期末【全真模拟卷01】-2022-2023学年高二数学考试满分全攻略（人教A版2019选修第一册）广东省东莞市东莞外国语学校2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题重庆市荣昌中学2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题（已下线）期末真题必刷易错60题（34个考点专练）-【满分全攻略】2023-2024学年高二数学同步讲义全优学案（人教A版2019选择性必修第一册）
名校
解题方法
6 . 在长方体
中，下列计算结果一定不等于0的是（ ）
中，下列计算结果一定不等于0的是（ ）A． | B． | C． | D． |
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2021-09-22更新
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390次组卷
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6卷引用：上海市金山区2019届高三下学期质量监控（二模）数学试题
7 . 已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下列说法中正确的是（ ）
A． | B． |
C．向量 与向量 的夹角是120° | D．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为 |
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2021-01-06更新
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631次组卷
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10卷引用：2020届上海市金山区高三二模数学试题
2020届上海市金山区高三二模数学试题2024届福建省泉州市四校（安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学）5月份高三高考模拟联考数学试题江苏省淮安市涟水县第一中学2020-2021学年高二上学期第二次阶段检测数学试题（已下线）1.1.3 空间向量的数量积运算-2020-2021学年高二数学课时同步练（人教A版选择性必修第一册）（已下线）专题1.2 空间点线面与空间向量（A卷基础篇）-2020-2021学年高二数学选择性必修第一册同步单元AB卷（新教材人教B版）福建省尤溪第一中学2021-2022学年上学期高二年段核心素养能力测试数学试题（已下线）1.1.2 空间向量的数量积运算（备作业）-【上好课】2021-2022学年高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）第一章 空间向量与立体几何 1.1空间向量及其运算-2021-2022学年高二数学上学期同步课堂习题测试（人教A版2019选择性必修第一册）江西省宁冈中学2024届高三上学期11月期中考试数学试题湖南省常德市第一中学2023-2024学年高二上学期第二次月水平检测（12月）数学试题
2014·上海奉贤·二模
名校
解题方法
8 . 已知长方体，下列向量的数量积一定不为0的是（ ）
，下列向量的数量积一定不为0的是（ ）A． | B． | C． | D． |
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2022-07-22更新
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1454次组卷
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21卷引用：2014届上海市奉贤区高三下学期二模理科数学试卷
（已下线）2014届上海市奉贤区高三下学期二模理科数学试卷（已下线）热点06 立体几何-2021年高考数学【热点·重点·难点】专练（上海专用）（已下线）3.1空间向量及其运算（作业）（夯实基础+能力提升）-【教材配套课件+作业】2022-2023学年高二数学精品教学课件（沪教版2020选择性必修第一册）2014-2015学年山东省文登市高二上学期期末考试理科数学试卷2018秋人教A版高中数学选修2-1习题：3.1.3空间向量的数量积运算人教B版(2019) 选择性必修第一册 过关斩将 第一章 空间向量与立体几何 专题强化练1 空间向量的运算（已下线）1.1.3+空间向量的数量积运算（基础练）-2020-2021学年高二数学十分钟同步课堂专练（人教A版选择性必修第一册）北京市海淀区教师进修学校附属实验学校2020-2021学年高二上学期期中数学试题（已下线）3.1.3 空间向量的数量积运算（基础练）-2020-2021学年高二数学（理）十分钟同步课堂专练（人教A版选修2-1）（已下线）专题01 空间向量及其运算（核心素养练习）-【新教材精创】2020-2021学年高二数学新教材知识讲学（人教A版选择性必修第一册）北京市海淀区中关村中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题（已下线）第1.2讲 空间向量的数量积运算-2021-2022学年高二数学链接教材精准变式练（新人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）第一章 空间向量与立体几何（基础必刷卷）-2021-2022学年高二数学上学期同步课堂单元测试（人教A版2019选择性必修第一册）人教B版(2019) 选修第一册 过关检测 第一章 1.1.1 空间向量及其运算沪教版(2020) 选修第一册 新课改一课一练 第3章 3.1.2 空间向量及其运算（2）（已下线）专题1.3 空间向量的数量积运算-重难点题型精讲人教A版(2019) 选择性必修第一册 过关斩将 第一章 空间向量与立体几何 1.1 空间向量及其运算 1.1.2 空间向量的数量积运算（已下线）第一章 空间向量与立体几何（单元测试卷）-【同步题型讲义】2022-2023学年高二数学同步教学题型讲义（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）第1讲 空间向量及其运算 （1）（已下线）专题1.2 空间向量的数量积运算【五大题型】-2023-2024学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第一册）广东省东莞中学松山湖学校2023-2024学年高二上学期第一次段考数学试题
名校
9 . 点P是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点，则
的取值范围是__ .
的取值范围是
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2020-01-11更新
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1527次组卷
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19卷引用：2017年上海市七宝中学高考模拟数学试题
2017年上海市七宝中学高考模拟数学试题上海市闵行区七宝中学2016届高三下学期第二次三模（理）数学试题上海市曹杨第二中学2018-2019学年高二上学期期末复习试卷1数学试题（已下线）上海市华东师范大学第二附属中学2016-2017学年高三上学期12月月考数学试题（已下线）上海市华东师范大学第二附属中学2018-2019学年高二下学期期末数学试题上海市第二中学2019-2020学年高二下学期期末数学试题（已下线）高二期末押题03-2020-2021学年高二数学下学期期末专项复习（沪教版）上海市闵行中学2020-2021学年高二下学期期末数学试题（已下线）高二下期末真题精选（易错60题45个考点专练）（高中全部内容）（原卷版）山东省泰安第二中学2019-2020学年高三上学期10月月考数学试题人教A版(2019) 选择性必修第一册 过关斩将 第一章 空间向量与立体几何 1.3 空间向量及其运算的坐标表示 1.3.1 空间直角坐标系+ 1.3.2 空间向量运算的坐标表示（已下线）考点39 空间向量的运算与应用（考点专练）-备战2021年新高考数学一轮复习考点微专题（已下线）专题07 空间向量与立体几何-【备战高考】2021年高三数学高考复习刷题宝典（填空题专练）（已下线）专练03 专题强化训练一 空间向量的运算及应用-2021-2022学年高二数学上册同步课后专练（人版A版选择性必修第一册）山东省济宁市邹城市第二中学2021-2022学年高二上学期10月月考数学试题（已下线）期中考试重难点专题强化训练（1）——向量的综合运用-2021-2022学年高二数学单元卷模拟（易中难）（2019人教A版选择性必修第一册+第二册）北京市一零一中学2021-2022学年高二上学期期末考试数学试题河南省洛阳市新安县第一高级中学2022-2023学年高二上学期9月月考数学试题辽宁省大连市第八中学2021-2022学年高二上学期10月阶段考试数学试题
