1 . 如图，在三棱锥P-ABC中， ，D是BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知 ．

(1)求证：AP⊥BC；
(2)若点M是线段AP是一点，且 ．试证明平面AMC⊥平面BMC．

2 . 如图，在四棱锥中，为棱的中点，平面.

(1)求证：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.

3 . 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面，，，，为的中点.

(1)求证：平面；
(2)求点到面的距离；
(3)求平面与平面的夹角的余弦值.

4 . 如图，在四棱锥中，平面，四边形是矩形，，点是的中点，点分别是线段上的点，且．

(1)求证：；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．

5 . 如图，和所在平面互相垂直，且，.

(1)求证：；
(2)求平面和平面夹角的余弦值.

6 . 在正方体中，点分别为底面内一动点，为的中点.

(1)如图1，若为的中点，求平面与平面的夹角的余弦值；
(2)如图2，若平面，求证：平面.

7 . 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架、的边长都是，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子、分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记.

(1)证明：平面；
(2)当为何值时，的长最小并求出最小值；
(3)当的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值.

8 . 已知直四棱柱的底面是菱形，且，分别是侧棱的中点．

   

(1)证明：四边形为菱形．
(2)求点到平面的距离．

9 . 如图，四棱台中，上､下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，，分别为的中点，上下底面中心的连线垂直于上下底面，且与侧棱所在直线所成的角为.
   
(1)求证：∥平面；
(2)求点到平面的距离；
(3)边上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由

10 . 如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点．
   
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．