名校
解题方法
1 . 如图，在四棱锥
中，已知
平面
，且四边形为直角梯形，
，
，
．
（1）求点
到平面
的距离；
（2）设
是线段
上的动点，当直线
与
所成的角的余弦值为
时，求二面角
的余弦值．
中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，．（1）求点
到平面的距离；（2）设
是线段上的动点，当直线与所成的角的余弦值为时，求二面角的余弦值．
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名校
2 . 如图，在四棱锥中，底面，底面为菱形，
，
，
为
的中点.
平面
；
（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.
中，底面，底面为菱形，，，为的中点.
平面；（2）求平面
与平面所成二面角的正弦值.
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2020-12-04更新
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997次组卷
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17卷引用：河南省豫北名校2020-2021学年高二上学期11月质量检测数学（理）试题
河南省豫北名校2020-2021学年高二上学期11月质量检测数学（理）试题河北省正定县第一中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题青海省海南州高级中学、贵德中学2020-2021学年高二下学期期中联考数学（理）试题贵州省凯里市第一中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学（理）试题江西省新余市新钢中学2020-2021学年高二下学期第一次段考数学（理）试题湖湘大联考2021-2022学年高二上学期10月月考数学试题广西贺州市昭平中学2021-2022学年高二上学期第二次月考数学（理）试题重庆市涪陵第二中学校2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题河北省沧州市任丘市第一中学2022-2023学年高二上学期第一次阶段考数学试题福建省南安市蓝园高级中学2022-2023学年高二上学期9月学情检测数学试题河北省唐县第一中学2022-2023学年高二上学期11月月考数学试题陕西省宝鸡教育联盟2022-2023学年高二下学期期末理科数学试题山西省朔州市怀仁市第一中学校、大地学校高中部2023-2024学年高二上学期第二次月考数学试题安徽省泗县第二中学2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题广西壮族自治区北海市2023-2024学年高二上学期期末教学质量检测数学试题湖北省恩施州巴东县第三高级中学2023-2024学年高二上学期第二次月考数学试题（已下线）黄金卷18-【赢在高考·黄金20卷】备战2021高考数学全真模拟卷（新高考专用）
名校
3 . 如图，在正四棱柱
中，
，
，
，
，
是棱
的中点，平面
与直线
相交于点
.
（1）证明：直线
平面
.
（2）求二面角
的正弦值.
中，，，，，是棱的中点，平面与直线相交于点.（1）证明：直线
平面.（2）求二面角
的正弦值.
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2020-08-17更新
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502次组卷
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9卷引用：青海省海东市2019-2020学年高二下学期期末联考数学（理）试题
青海省海东市2019-2020学年高二下学期期末联考数学（理）试题青海省海东市2020届高三第四次模拟考试数学（理）试题辽宁省抚顺市六校（省重点）联合体2020届高三5月联考数学（理科）试题2020届广东省湛江市高三二模数学（理）试题吉林省梅河口市第五中学2020届高三第五次模拟考试数学（理）试题辽宁省辽南协作校2020届高三（5月份）高考数学（理科）模拟试题（已下线）专题20 立体几何综合-2020年高考数学（理）母题题源解密（全国Ⅱ专版）（已下线）专题04 空间角——2020年高考数学母题题源解密（山东、海南专版）辽宁省大连市第十五中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题
4 . 如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．
（1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．
（1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．
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2019-06-09更新
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45878次组卷
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88卷引用：青海省西宁市海湖中学2019-2020学年高二下学期第一阶段考试数学（理）试题
青海省西宁市海湖中学2019-2020学年高二下学期第一阶段考试数学（理）试题河北省张家口市第四中学2018-2019学年高二6月月考数学（理）试题山东省济南市章丘区第四中学2019-2020学年高二第四次质量检测数学试题青海省西宁市2020届高三复习检测（一）数学试题人教A版(2019) 选择性必修第一册 必杀技 第一章 空间向量与立体几何 素养检测人教B版(2019) 选择性必修第一册 必杀技 第一章 空间向量与立体几何 素养检测人教B版(2019) 选择性必修第一册 过关斩将 第一章 空间向量与立体几何 1.1-1.2 综合拔高练广西壮族自治区田阳高中2020-2021学年高二9月月考数学（理）试题福建省福清西山学校高中部2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题辽宁省大连市一〇三中学2020-2021学年高二10月月考数学试题福建省泰宁第一中学2019-2020学年高二上学期第二次阶段考试数学试题云南省丽江市2019-2020学年高二下学期期末数学（理）试题青海省西宁市2021-2022学年高二上学期期末联考数学试题2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）（已下线）专题04 立体几何——2019年高考真题和模拟题理科数学分项汇编海南省海南中学2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题（已下线）5.2 直线 平面平行与垂直的判定与性质［理］-《备战2020年高考精选考点专项突破题集》（已下线）专题06 立体几何（解答题）——三年（2018-2020）高考真题理科数学分项汇编（已下线）考点23 运用空间向量解决立体几何问题-2021年高考数学三年真题与两年模拟考点分类解读（新高考地区专用）四川省阆中中学2020-2021学年高三9月月考数学（理）试题（已下线）专题18 立体几何综合-2020年高考数学（理）母题题源解密（全国Ⅰ专版）（已下线）专题8.7 利用空间向量求空间角 （精讲）--2021年高考数学(理)一轮复习讲练测（已下线）考点33 空间向量与立体几何-备战2021年高考数学（理）一轮复习考点一遍过（已下线）专题47 空间向量与立体几何专题训练-2021年高考一轮数学（理）单元复习一遍过（已下线）专题47 空间向量与立体几何专题训练-2021年高考一轮数学单元复习一遍过（新高考地区专用）（已下线）专题12 点线面的位置关系与空间的角-2021年浙江省高考数学命题规律大揭秘【学科网名师堂】（已下线）专题8.7 利用空间向量求空间角（精讲）-2021年高考数学（理）一轮复习学与练（已下线）考点26 空间直线、平面的平行-备战2021年新高考数学一轮复习考点一遍过吉林省辽源市友好学校第七十届2020-2021学年高二上学期期末联考数学（理）试题（已下线）专题1.3 空间向量及其运算的坐标表示-2020-2021学年高二数学同步课堂帮帮帮（人教A版2019选择性必修第一册）广西梧州高级中学2020-2021学年高二下学期月考试题（理）数学试题北师大版(2019) 选修第一册 必杀技 第三章 素养检测北师大版(2019) 选修第一册 突围者 第三章 章末培优专练（已下线）专题01 通过空间向量解决立体几何中的角度问题（解答题专练）-【重难点突破】2021-2022学年高二数学上册常考题专练（人教A版2019选择性必修第一册）福建省宁化第一中学2021-2022学年高二上学期开学考试数学试题湘鄂冀三省益阳平高学校、长沙市平高中学等七校2021-2022学年高二上学期期中联考数学试题四川省雅安中学2021-2022学年高二下学期3月月考数学（理）试题福建省厦门双十中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学试题广东省潮州市湘桥区南春中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题第一章 空间向量与立体几何章末检测（能力篇）（已下线）1.2.4 二面角湖北省随州市曾都区第一中学2022-2023学年高二上学期期中模拟数学试题福建省厦门集美中学2022-2023学年高二上学期第三次月考数学试题广东省广州市从化中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题（已下线）专题24 空间向量与空间角的计算-十年（2011-2020）高考真题数学分项甘肃省兰州市等3地2022-2023学年高二上学期期中数学试题青海省玉树藏族自治州第二民族高级中学2023届高三第七次模拟理科数学试题山东省烟台市龙口市龙口第一中学东校2023-2024学年高二上学期开学数学试题云南省昆明市第十六中学2023-2024学年高二上学期9月月考数学试题吉林省松原市前郭尔罗斯蒙古族自治县蒙古族中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题内蒙古赤峰市红山区赤峰第四中学2023-2024学年高二上学期12月月考试数学试题海南省儋州市鑫源中学2021-2022学年高二（普高班）上学期期末考试数学试题河南省南阳市2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题陕西省西安市雁塔区第二中学2023-2024学年高二上学期第二次阶段性测评数学试题湖南省株洲市炎陵县2023-2024学年高二下学期入学素质考试数学试题（已下线）通关练05 空间向量与立体几何近五年高考真题4考点精练（30题）- 【考点通关】2023-2024学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第一册)（已下线）专题15 运用空间向量研究立体几何问题-2021年高考数学二轮优化提升专题训练（新高考地区专用）【学科网名师堂】（已下线）精做04 立体几何-备战2021年高考数学大题精做（新高考专用）（已下线）数学-2021年高考考前20天终极冲刺攻略（二）（新高考地区专用）【学科网名师堂】（5月26日）北京市育英中学2021届高三3月考数学试题（已下线）押第18题 立体几何-备战2021年高考数学(理)临考题号押题（全国卷1）（已下线）预测11 空间向量与立体几何-【临门一脚】2021年高考数学三轮冲刺过关（新高考专用）【学科网名师堂】（已下线）考点31 直线、平面平行的判定及其性质-备战2022年高考数学一轮复习考点帮（浙江专用）（已下线）考点24 直线、平面平行的判定及其性质-备战2022年高考数学（理）一轮复习考点微专题（已下线）7.5 空间向量求空间角（精讲）-【一隅三反】2022年高考数学一轮复习（新高考地区专用）（已下线）第37讲 立体几何中的向量方法 （讲） — 2022年高考数学一轮复习讲练测（课标全国版）广西桂林市2022届高三10月教学质量检测数学（理））题新疆哈密市第十五中学2022届高三上学期第一次月考数学试题河北省深州市长江中学2022届高三上学期期中数学试题（已下线）专题19 空间向量与立体几何（解答题）-备战2022年高考数学（理）母题题源解密（全国甲卷）四川省宜宾市叙州区2021-2022学年高三上学期期末数学理科试题（已下线）专题36 空间向量在立体几何中的应用-学会解题之高三数学万能解题模板【2022版】广东省梅州市梅县区南口中学2022届高三上学期10月月考数学试题（已下线）专题30 理科数学高考真题重组模拟测试（一）-备战2022年高考数学冲刺横向强化精练精讲（已下线）类型三 立体几何与空间向量-【题型突破】备战2022年高考数学二轮基础题型+重难题型突破（新高考专用）（已下线）押全国卷（理科）第19题 空间向量与立体几何-备战2022年高考数学（理）临考题号押题（全国卷）广东省佛山市南海艺术高级中学2022届高三下学期第三次大测数学试题（已下线）2022年全国新高考II卷数学试题变式题13-16题（已下线）专题17 立体几何解答题（已下线）2022年全国新高考II卷数学试题变式题20-22题广东省中山市小榄中学2023届高三上学期第三次月考数学试题四川省泸县第四中学2022-2023学年高三下学期开学考试数学（理）试题全国甲乙卷5年真题分类汇编《立体几何》解答题河南省豫北名校2023届高三下学期全真模拟考试理科数学试题（已下线）艺体生一轮复习 第七章 立体几何 第36讲 空间向量在立体几何中的应用【练】（已下线）6.4 空间向量与立体几何（高考真题素材之十年高考）1（已下线）6.4 空间向量与立体几何（高考真题素材之十年高考）1 (2)（已下线）专题23 立体几何解答题（理科）-2
9-10高二下·内蒙古包头·期中
5 . 如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱
底面ABCD，
，E是PC的中点，作
交PB于点F.
平面EDB；
(2)求证：
平面EFD；
(3)求平面CPB与平面PBD的夹角的大小.
中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，，E是PC的中点，作交PB于点F.
平面EDB；(2)求证：
平面EFD；(3)求平面CPB与平面PBD的夹角的大小.
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2022-01-09更新
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1494次组卷
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30卷引用：2015-2016学年青海省西宁四中高二上学期期末文科数学试卷
2015-2016学年青海省西宁四中高二上学期期末文科数学试卷（已下线）包头33中09-10高二下学期期中理科数学试题（已下线）2010-2011学年山东省兖州市高二下学期期末考试数学（理）（已下线）2011-2012学年度广东省普宁第二中学高二上学期11月月考理科数学试卷（已下线）2011-2012学年湖南省华容县高二第一学期期末考试理科数学试卷（已下线）2011-2012学年云南省大理云龙一中高二上学期期末考试理科数学试卷（已下线）2011-2012学年吉林省龙井市三中高二3月月考理科数学（已下线）2011-2012学年河南省许昌部分学校高二上学期期末联考理科数学试卷（已下线）2012-2013年浙江台州六校高二上期中联考理科数学试卷2015-2016年新疆兵团农二师华山中学高二下期中理数学卷2016-2017学年河北卓越联盟高二理上学期月考三数学试卷山西省临猗县临晋中学2020-2021学年高二上学期9月月考数学（理）试题黑龙江省宾县一中2020-2021学年高二第一学期第二次月考数学试题（已下线）2011年广东省揭阳市第一中学高一第一学期期末数学试卷（已下线）2012届广东省肇庆市封开县南丰中学高三复习 必修一和必修二综合测试A（已下线）2014届湖南省株洲市二中高三年级第二次月考文科数学试卷2017届甘肃兰州一中高三9月月考数学（理）试卷江西省樟树中学2017-2018学年人教A版高一下学期第一次月考数学（理）试题天津市实验中学2019届高三热身数学（理）试题（已下线）【新东方】杭州新东方高中数学试卷322天津市南开区2020-2021学年高二上学期期末数学试题山东省菏泽市郓城县第一中学2021-2022学年高二下学期开学收心考试数学试题2004年普通高等学校招生考试数学（理）试题（天津卷）广东省汕尾市2022-2023学年高二下学期期末数学试题安徽省桐城中学2021-2022学年高二下学期开学检测数学试卷人教A版（2019）选择性必修第一册课本例题1.4 空间向量的应用贵州省清镇市博雅实验学校2023-2024学年高二上学期第四次月考数学试题数学（已下线）通关练04 空间向量与立体几何大题9考点精练（41题）- 【考点通关】2023-2024学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第一册)甘肃省会宁县第一中学2020-2021学年高一上学期第二次月考数学试题广东省广州市空港实验中学2024届高三上学期期中数学试题
名校
6 . 如图，已知四棱锥P－ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝1，AB＝2，M是PB的中点．
(1)证明：平面PAD⊥平面PCD；
(2)求AC与PB的夹角的余弦值；
(3)求二面角A－MC－B的余弦值．
(1)证明：平面PAD⊥平面PCD；
(2)求AC与PB的夹角的余弦值；
(3)求二面角A－MC－B的余弦值．
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2019-01-23更新
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520次组卷
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3卷引用：【全国百强校】青海省西宁市第四高级中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学试题
【全国百强校】青海省西宁市第四高级中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学试题1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题（基础知识+基本题型）--【一堂好课】2021-2022学年高二数学上学期同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）专题10 空间角与空间距离的综合（2） - 期中期末考点大串讲
7 . 如图，在三棱锥
中，平面
，且
,
（1）证明：三棱锥为鳖臑；
（2）若为棱
的中点，求二面角
的余弦值.注：在《九章算术》中鳖臑是指四面皆为直角三角形的三棱锥.
中，平面，且,（1）证明：三棱锥
为鳖臑；（2）若
为棱的中点，求二面角的余弦值.注：在《九章算术》中鳖臑是指四面皆为直角三角形的三棱锥.
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2019-01-01更新
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566次组卷
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7卷引用：青海省西宁市大通回族土族自治县2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试题
8 . 如图，四棱锥中，底面为菱形，
，
为等边三角形．
（1）求证：
．
（2）若
，
，求二面角
的余弦值．
中，底面为菱形，，为等边三角形．（1）求证：
．（2）若
，，求二面角的余弦值．
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2018-10-12更新
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2939次组卷
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2卷引用：青海省西宁市第十四中学2019-2020学年高二上学期期中数学（理）试题
9 . 已知三棱柱
的侧棱垂直于底面，
，
，
，
，分别是
，
的中点.
（Ⅰ）证明：平面
；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值.
的侧棱垂直于底面，，，，，分别是，的中点.（Ⅰ）证明：
平面；（Ⅱ）求二面角
的余弦值.
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2018-07-05更新
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536次组卷
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5卷引用：【全国百强校】湖南省岳阳市第一中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学（理）试题
10 . 如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧
所在平面垂直，
是上异于
，
的点．
（1）证明：平面
平面
；
（2）当三棱锥
体积最大时，求面
与面
所成二面角的正弦值．
所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．（1）证明：平面
平面；（2）当三棱锥
体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值．
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2018-06-09更新
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31468次组卷
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40卷引用：【全国百强校】福建省厦门双十中学2017-2018学年高二下学期期末考试模拟数学（理）试题
【全国百强校】福建省厦门双十中学2017-2018学年高二下学期期末考试模拟数学（理）试题新疆奎屯市第一高级中学2018-2019学年高二下学期第一次月考数学（理）试题广东省阳东广雅中学2019-2020学年高二下学期期中数学试题人教B版(2019) 选择性必修第一册 过关斩将 第一章 空间向量与立体几何 1.1-1.2 综合拔高练（已下线）【新教材精创】1.2.4+二面角（2）B提高练-人教B版高中数学选择性必修第一册青海省湟川中学2020-2021学年高二下学期第一次月考数学（理）试题2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标III卷）（已下线）2018年高考题及模拟题汇编 【理科】5．立体几何（已下线）2020届高三3月第01期（考点07）（理科）-《新题速递·数学》2020届山东省淄博市部分学校高三下学期3月教学质量检测数学试题（已下线）第9篇——立体几何与空间向量-新高考山东专题汇编（已下线）专题06 立体几何（解答题）——三年（2018-2020）高考真题理科数学分项汇编（已下线）专题19 立体几何综合-2020年高考数学（理）母题题源解密（全国Ⅲ专版）（已下线）专题17 立体几何综合-五年（2016-2020）高考数学（理）真题分项黑龙江省大庆第一中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题（已下线）专题8.8 翻折与探索性问题（精讲）-2021年高考数学(理)一轮复习讲练测（已下线）考点33 空间向量与立体几何-备战2021年高考数学（理）一轮复习考点一遍过（已下线）痛点13 立体几何中的最值、轨迹问题-2021年新高考数学一轮复习考点扫描江苏省南京市中华中学2020-2021学年高二上学期期末数学试题广东省广雅中学2021届高三上学期9月月考数学试题江西省赣州市第一中学2020-2021学年高二下学期期末数学试题（已下线）卷15 选择性必修第一册高二上期中考试 总复习检测6（难）-2021-2022学年高二数学单元卷模拟（易中难）（2019人教A版选择性必修第一册+第二册）（已下线）专题03 立体几何中的动点问题和最值问题-【重难点突破】2021-2022学年高二数学上册常考题专练（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）专题01 通过空间向量解决立体几何中的角度问题（解答题专练）-【重难点突破】2021-2022学年高二数学上册常考题专练（人教A版2019选择性必修第一册）吉林省长春市农安县2022-2023学年高二上学期期末数学试题广西蒙山县第一中学2021-2022学年高二上学期期末考试理科数学试题（一）（已下线）专题24 空间向量与空间角的计算-十年（2011-2020）高考真题数学分项（已下线）1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题【第三课】（已下线）模块二 专题4 空间向量中探究、最值问题（苏教版高二）（已下线）易错点10 立体几何中的角-备战2021年高考数学（理）一轮复习易错题（已下线）专题15 运用空间向量研究立体几何问题-2021年高考数学二轮优化提升专题训练（新高考地区专用）【学科网名师堂】（已下线）专题4.4 空间向量与立体几何-2021年高考数学解答题挑战满分专项训练（新高考地区专用）北京市一零一中学2021届高三下学期统考四数学试题（已下线）解密15 空间向量与立体几何（分层训练）-【高频考点解密】2021年高考数学（理）二轮复习讲义+分层训练陕西省西安中学2022届高三下学期八模理科数学试题（已下线）专题17 立体几何解答题四川省凉山州西昌天立学校2021-2022学年高三上学期数学（理）入学考试试题福建省上杭第一中学2023届高三上学期暑期考试数学试题（已下线）6.4 空间向量与立体几何（高考真题素材之十年高考）2（已下线）专题23 立体几何解答题（理科）-3
