1 . 已知双曲线：经过点，，为左右顶点，且.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设过的直线与双曲线交于，两点（不与重合），记直线，的斜率为，，证明：为定值.

2 . 已知抛物线，为其焦点，，，三点都在抛物线上，且，直线，，的斜率分别为，，.求抛物线的方程，并证明:.

3 . 已知，直线相交于点M，且它们的斜率之积是3.
(1)求点M的轨迹C的方程；
(2)过点能否作一条直线m与轨迹C交于两点P，Q，且点N是线段的中点？若能，求出直线m的方程；若不能，说明理由．

4 . 已知椭圆C：，过点作两条直线，这两条直线与椭圆C的另一交点分别是M，N，且M，N关于坐标原点O对称.设直线AM，AN的斜率分别是，.
(1)证明：.
(2)若点M到直线AN的距离为2，求直线AM的方程.

5 . 已知A，B分别为椭圆C：的左、右顶点，P是椭圆在第一象限内一点，满足且，求的值．

6 . 已知动圆过定点，且在y轴上截得弦长为4.
(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；
(2)过点的直线l与轨迹C交于A，B两点，若点满足直线PA与直线PB的倾斜角互补，求的值.

7 . 已知数列，若__________．
从下列三个条件中任选一个补充在上面的横线上，然后对题目进行求解．
①；
②，，（，）；
③，点，在斜率是2的直线上．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．

8 . 已知点，，点在线段上.
(1)求直线的斜率；
(2)求的最大值.

9 . 在平面直角坐标系xOy中，点B与点关于原点对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于. 求动点P的轨迹方程，并注明x的范围；

10 . 已知焦点在轴上的椭圆：的长轴长为4，的右顶点到右焦点的距离为1.

(1)求椭圆的标准方程；
(2)如图，已知点，直线与椭圆交于不同的两点，，（，两点都在轴上方），为坐标原点，且.证明直线过定点，并求出该定点坐标.