1 . 已知函数.
（1）设是图象上的两点，直线斜率存在，求证：；
（2）求函数在区间上的最大值.

2 . 设是定义在上的函数，且，对任意，，若经过点、的直线与轴的交点是，则称为、关于函数的平均数，记为.
（1）若，求的表达式；
（2）若，求出所有满足条件的的解析式；
（3）若对任意，，且，都有成立，求证：.

3 . 设是直线与圆在第四象限的交点，则极限_____.

4 . 点在曲线上运动，则的最大值为________.

5 . 当实数x，y满足不等式组时，恒有，则实数a的取值范围是___．

6 . 已知直线 （其中为实数）过定点P，点Q在函数的图像上，则PQ连线的斜率的取值范围是___________．

7 . 已知，则S的取值范围是________．

8 . 已知抛物线（），点在的焦点的右侧，且到的准线的距离是到距离的3倍，经过点的直线与抛物线交于不同的、两点，直线与直线交于点，经过点且与直线垂直的直线交轴于点.
（1）求抛物线的方程和的坐标；
（2）判断直线与直线的位置关系，并说明理由；
（3）椭圆的两焦点为、，在椭圆外的抛物线上取一点，若、的斜率分别为、，求的取值范围.

9 . 在幂函数的图象上任取两个不同的点，，若是定值，则______．

10 . 如图，过椭圆：的左右焦点分别作直线，交椭圆于与，且.

（1）求证：当直线的斜率与直线的斜率都存在时，为定值；
（2）求四边形面积的最大值.