1 . 设动点的轨迹为抛物线，点为定点.若线段的中点为点，则点的轨迹方程为_____.

2 . 平面上到两定点与的距离之和为的动点的轨迹方程为_____.

3 . 在平面直角坐标系内，有一动点到直线的距离和到点的距离比值是
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）已知点(异于点)为曲线上一个动点，过点作直线的垂线交曲线于点，，求的最小值.

4 . 在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，点在上，且.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）点，过点的直线交于、两点（不在坐标轴上），直线、分别与轴交于、两点，若与的面积相等，求直线的方程.

5 . 已知椭圆，在椭圆上.
（1） 证明：椭圆在处的切线方程为；
（2）过椭圆上两点作椭圆的切线交于，且这两切线斜率之积为.
①证明：点落在椭圆上；
②若过作关于椭圆的切线交椭圆于、，且是定值，求.

6 . 已知动圆和定圆外切，和定直线相切.
（1）求该动圆圆心的轨迹的方程；
（2）过点的直线与交于两点，在曲线上存在一点，使得为定值，求出点的坐标.

7 . （1）若动点到定点的距离与到定直线：的距离之比为，求证：动点的轨迹是椭圆；
（2）设（1）中的椭圆短轴的上顶点为，试找出一个以点为直角顶点的等腰直角三角形，并使得、两点也在椭圆上，并求出的面积；
（3）对于椭圆(常数)，设椭圆短轴的上顶点为，试问：以点为直角顶点，且、两点也在椭圆上的等腰直角三角形有几个？

8 . 如图所示，长方体，底面是边长为的正方形，，为中点.

（1）求四棱锥的体积；
（2）若点在正方形内（包括边界），且三棱锥体积是四棱锥体积的，请指出满足要求的点的轨迹，并在图中画出轨迹图形.

9 . 已知点在抛物线：上．
（1）求的方程；
（2）过上的任一点（与的顶点不重合）作轴于，试求线段中点的轨迹方程；
（3）在上任取不同于点的点，直线与直线交于点，过点作轴的垂线交抛物线于点，求面积的最小值．

10 . 已知椭圆的两焦点分别为，，是椭圆在第一象限内的一点，并满足，过作倾斜角互补的两直线、分别交椭圆于、两点.
（1）求点坐标；
（2）当直线经过点时，求直线的方程；
（3）求证直线的斜率为定值.