名校
解题方法
1 . 已知圆系
，圆
过
轴上的定点
，线段
是圆在
轴上截得的弦，设
.对于下列命题：
①不论
取何实数，圆心始终落在曲线
上；
②不论取何实数，弦的长为定值1；
③式子
的取值范围是
.
④不论取何实数，圆系的所有圆都与直线
相切；
其中真命题的序号是__________ .（把所有真命题的序号都填上）
，圆过轴上的定点，线段是圆在轴上截得的弦，设.对于下列命题：①不论
取何实数，圆心始终落在曲线上；②不论
取何实数，弦的长为定值1；③式子
的取值范围是.④不论
取何实数，圆系的所有圆都与直线相切；其中真命题的序号是
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2 . 如图，在棱长为2的正方体
中，已知
分别是棱
的中点，则平面
截正方体所得的截面面积为__________ ，若
为平面上的动点，且直线
与直线
的夹角为
，则点的轨迹长度为__________ ．
中，已知分别是棱的中点，则平面截正方体所得的截面面积为为平面上的动点，且直线与直线的夹角为，则点的轨迹长度为
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3 . 在平面直角坐标系
中，O为坐标原点，定义
、
两点之间的“直角距离”为
．已知两定点
，
，则满足
的点M的轨迹所围成的图形面积为______ ．
中，O为坐标原点，定义、两点之间的“直角距离”为．已知两定点，，则满足的点M的轨迹所围成的图形面积为
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名校
解题方法
4 . 在边长为1的正方体中，点M是该正方体表面上一个动点，且
平面
，则动点M的轨迹的长度是__________ .
中，点M是该正方体表面上一个动点，且平面，则动点M的轨迹的长度是
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5 . 点
是棱长为1的正方体棱上一点，则满足
的点的个数为____________ ．
是棱长为1的正方体棱上一点，则满足的点的个数为
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6 . 已知平面向量
满足
，若平面向量
满足
，则
的最大值为__________ .
满足，若平面向量满足，则的最大值为
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7 . 如图，若正方体的棱长为
，点是正方体的底面
上的一个动点（含边界），是棱
的中点，①若保持
，则点在底面内运动路径的长度为_____________ ；②三棱锥
体积的最大值为_______ .
，点是正方体的底面上的一个动点（含边界），是棱的中点，①若保持，则点在底面内运动路径的长度为体积的最大值为
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8 . 如图，二面角
的平面角的大小为
，A，B是l上的两个定点，且
，
，
，满足AB与平面BCD所成的角为
，且点A在平面BCD上的射影H在
的内部（包括边界），则点H的轨迹的长度等于 _____ ．
的平面角的大小为，A，B是l上的两个定点，且，，，满足AB与平面BCD所成的角为，且点A在平面BCD上的射影H在的内部（包括边界），则点H的轨迹的长度等于 
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2024·全国·模拟预测
解题方法
9 . 如图，在平面直角坐标系中，
为矩形
的边
的中点，且
，
为
的中点．对于任意的
，将线段
和
分成
等分，设
上的分点为
和
，过上的分点作与
平行的直线
，与直线
交于点
，利用对称性作出关于
对称的另一半的点，用光滑曲线把它们连接起来，得到曲线
（过坐标原点）．设
，为曲线上的一个动点，则
的最小值为______ ．
中，为矩形的边的中点，且，为的中点．对于任意的，将线段和分成等分，设上的分点为和，过上的分点作与平行的直线，与直线交于点，利用对称性作出关于对称的另一半的点，用光滑曲线把它们连接起来，得到曲线（过坐标原点）．设，为曲线上的一个动点，则的最小值为
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解题方法
10 . 正四面体
的棱长为
，点M为平面
内的动点，且满足
，则直线PM与直线AB的所成角的余弦值的取值范围为
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