1 . 已知动圆经过定点，且与圆：内切.
(1)求动圆圆心的轨迹的方程；
(2)设轨迹与轴从左到右的交点为，，点为轨迹上异于，的动点，设交直线于点，连接交轨迹于点，直线，的斜率分别为，.
①求证：为定值；
②证明：直线经过轴上的定点，并求出该定点的坐标.

2 . 椭圆：长轴长为，左右焦点分别为和，为椭圆上一点，且，．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作直线交椭圆于，两点，若点，求证：直线，的斜率之和为定值．

3 . 已知，为的两个顶点，为的重心，边AC，AB上的两条中线长度之和为．
(1)求点的轨迹的方程；
(2)过作不平行于坐标轴的直线交于D，E两点，若轴于点，轴于点，直线DN与EM交于点．求证：点在一条定直线上，并求此定直线方程．

4 . 已知椭圆：的左右焦点分别是双曲线：的顶点，且椭圆的上顶点到双曲线的渐近线的距离为．

(1)求椭圆的方程；
(2)如图所示，直线：与椭圆在第二象限交于点，若直线，且与椭圆交于两点，直线，与轴分别交于，两点，记，的横坐标分别为，，求证：为定值．

5 . 在平面直角坐标系中，已知点，，记的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)过点的直线与交于两点，，，设直线的斜率分别为．
（i）若，求；
（ii）证明：为定值．

6 . 已知为椭圆上一点，点与椭圆的两个焦点构成的三角形面积为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)不经过点的直线与椭圆相交于两点，若直线与的斜率之和为，证明：直线必过定点，并求出这个定点坐标．

7 . 已知椭圆E：离心率为,且经过点.
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点且斜率不为0的直线与椭圆C交于M,N两点,证明：直线与直线的斜率之积为定值.

9 . 已知椭圆的离心率为，四个顶点构成的四边形面积为．
(1)求椭圆方程；
(2)若直线交椭圆于，，且，求证为定值．

10 . 已知椭圆过点，且椭圆的离心率为 .

(1)求椭圆的方程；
(2)若动点在直线上，过作直线交椭圆于两点，且为线段的中点，再过作直线，证明：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标.