1 . 已知椭圆E：的左焦点为，且过点，为坐标原点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）点为椭圆E上的动点，过点作平行于的直线l交椭圆于，两点，求 面积的取值范围．

2 . 已知椭圆，点在椭圆上，椭圆的离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设点为椭圆长轴的左端点，，为椭圆上异于椭圆长轴端点的两点，记直线，斜率分别为，，若，请判断直线是否过定点？若过定点，求该定点坐标，若不过定点，请说明理由.

3 . 已知椭圆C的两个焦点分别是，，并且经过点.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知点，若C上总存在两个点A、B关于直线对称，且，求实数m的取值范围.

4 . 已知椭圆：的左焦点，点在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）经过圆上一动点作椭圆的两条切线，切点分别记为，直线，分别与圆相交于异于点的，两点.
（i）求证：；
（ii）求的面积的取值范围.

5 . 在平面直角坐标系中，点在椭圆上，且椭圆的离心率.
（1）求椭圆M的标准方程；
（2）过椭圆M的右顶点A作椭圆M的两条弦、，记直线、，的斜率分别为、、，其中、的值可以变化，当，求的所有可能的值.

6 . 已知椭圆C：的离心率为，且过点．
（1）求的方程：
（2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．

7 . 已知F₁，F₂为椭圆E：的左、右焦点，且|F₁F₂|＝2，点在E上.
（1）求E的方程；
（2）直线l与以E的短轴为直径的圆相切，l与E交于A，B两点，O为坐标原点，试判断O与以AB为直径的圆的位置关系，并说明理由.

8 . 已知椭圆C的中心在坐标原点焦点在x轴上，椭圆C上一点A（2，﹣1）到两焦点距离之和为8.若点B是椭圆C的上顶点，点P，Q是椭圆C上异于点B的任意两点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若BP⊥BQ，且满足32的点D在y轴上，求直线BP的方程；
（3）若直线BP与BQ的斜率乘积为常数λ（λ＜0），试判断直线PQ是否经过定点.若经过定点，请求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由.

9 . 已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆上.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆相交于两点.若直线与直线的斜率的和为，证明：必过定点，并求出该定点的坐标．

10 . 已知椭圆，点和都在椭圆上，其中为椭圆的离心率.
（1）求椭圆的方程；
（2）若过原点的直线与椭圆交于两点，且在直线上存在点，使得是以为直角顶点的直角三角形，求实数的取值范围