1 . 已知为椭圆上一点，点与椭圆的两个焦点构成的三角形面积为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)不经过点的直线与椭圆相交于两点，若直线与的斜率之和为，证明：直线必过定点，并求出这个定点坐标．

2 . 已知椭圆E:，点和点在椭圆E上.
(1)求椭圆E的方程;
(2)设P是椭圆上一点（异于C，D），直线与x轴分别交于M，N两点.证明:在x轴上存在两点A，B，使得·是定值，并求此定值.

3 . 已知椭圆C：过点．右焦点为F，纵坐标为的点M在C上，且AF⊥MF．
(1)求C的方程；
(2)设过A与x轴垂直的直线为l，纵坐标不为0的点P为C上一动点，过F作直线PA的垂线交l于点Q，证明：直线PQ过定点．

4 . 已知为椭圆的左､右焦点，点为椭圆上一点，且
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若圆是以为直径的圆，直线与圆相切，并与椭圆交于不同的两点､，且，求的值

5 . 已知F是椭圆的左焦点，焦距为4，且C过点．
(1)求C的方程；
(2)过点F作两条互相垂直的直线l₁，l₂，若l₁与C交于A，B两点，l₂与C交于D，E两点，记AB的中点为M，DE的中点为N，试判断直线MN是否过定点，若过点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

6 . 已知椭圆的上顶点为，过点且与轴垂直的直线被截得的线段长为.
(1)求椭圆的标准方程﹔
(2)设直线交椭圆于异于点的两点，以为直径的圆经过点线段的中垂线与轴的交点为，求的取值范围.

7 . 已知椭圆：的左焦点，点在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）经过圆上一动点作椭圆的两条切线，切点分别记为，直线，分别与圆相交于异于点的，两点.
（i）求证：；
（ii）求的面积的取值范围.

8 . 已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆上.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆相交于两点.若直线与直线的斜率的和为，证明：必过定点，并求出该定点的坐标．